Dérivation et variations

[wanamax]

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour la question 4 de ce DM svp :

Exercice 1: Un modèle économique
Compte tenu des conditions de production à un moment donné dans la chocolaterie
préférée du professeur, on modélise les variations des coûts de production, hors
coûts fixes, du chocolat de la façon suivante. Pour une production de q tonnes de
chocolat, q inférieur ou égal à 1000, on estime que le coût en euros, noté C(q), est
donné par : C(q) = 0,001 q
3 − 1,5 q
2 + 900 q . On note Γ la courbe représentant C .
1. Quelle est la quantité exacte qui donne un coût maximal ?
2. On note CM(q) le coût moyen en euros, d’une tonne de chocolat pour une
production de q tonnes de chocolat, donc q ̸= 0 forcément.
Quelle la quantité exacte q0 qui donne un coût moyen minimal ?
3. A l’aide d’un outil numérique comme GeoGebra, constater que la tangente à la
courbe Γ au point d’abscisse q0 semble passer par l’origine du repère. Démontrer
alors la validité de cette conjecture.
4. Dans cette question, on va voir si le résultat précédent était juste dû au hasard.
On considère une fonction C(q) définie pour q ∈ [0 ; 1000] mais de formule
inconnue. On continue à noter Γ la courbe représentant C .
Démontrer que si le coût moyen CM(q) associé à C(q) admet un minimum en
un réel q1 vérifiant 0 < q1 < 1000 , alors la tangente à la courbe Γ au point
d’abscisse q1 passe par l’origine du repère.

[L.A.]

Bonjour,

tu dois reprendre les mêmes étapes que dans les questions 2 et 3 mais sans jamais remplacer C ni C' par leurs expressions, que tu ne connais pas ici.

2. il faut écrire CM '(q) à partir de C(q), de C'(q) et de q, puis en déduire une équation reliant C(q1), C'(q1) et q1.
3. il faut écrire l'équation de la tangente à en q1 à partir de C(q1), C'(q1), q1, x, y puis remplacer x et y par 0 pour vérifier qu'elle passe par O.
Il faudra réutiliser l'équation trouvée à la question 2. pour cette vérification.

[Black Jack]

Bonjour,

4)
Enoncé incompréhensible tel que rédigé ...

Si il faut comprendre que pour une courbe Γ inconnue représentant C(q) = a.q³ + bq² + cq (donc avec a, b et c non connus), alors si Cm(q) = C(q)/q passe par un minimum pour q = q1, alors la tangente à la courbe Γ au point
d’abscisse q1 passe par l’origine du repère, dans ce cas :

y = a.x³ + bx² + cx (courbe de C)
y' = 3ax² + 2bx + c

Si x = q1:
T : y = (x - q1)*(3aq1² + 2bq1 + c) + a.q1³ + bq1² + cq1 (1) (Equation de la tangente à la courbe Γ au point d'abscisse q1)

*****
Courbe de Cm = C/q (coût moyen)

y = (a.x³ + bx² + cx )/x
y = ax² + bx + c

y' = 2ax + b
Si minimum en x = q1 --> 2a.q1+b = 0
q1 = -b/(2a) (2)

(2) dans (1) --->

T : y = (x + b/(2a))*(3b²/(4a) - b²/a + c) - b³/(8a²) + b³/(4a²) - bc/(2a)

T : y = (3b²/(4a) - b²/a + c)*x + b/(2a) * (3b²/(4a) - b²/a + c) - b³/(8a²) + b³/(4a²) - bc/(2a)

T : y = (3b²/(4a) - b²/a + c)*x + 3b³/(8a²) - b³/(2a²) + bc/(2a) - b³/(8a²) + b³/(4a²) - bc/(2a)

T : y = (3b²/(4a) - b²/a + c)*x + 3b³/(8a²) - 4b³/(8a²) - b³/(8a²) + 2b³/(8a²)

T : y = (3b²/(4a) - b²/a + c)*x + (3b³-4b³-b³+2b³)/(8a²)

T : y = (3b²/(4a) - b²/a + c)*x

... droite qui passe par l'origine.
********

Avec toute l'incertitude due à l'interprétation de l'énoncé incomplet ou mal écrit.

[catamat]

Bonjour

C'est un résultat souvent demandé dans les sections économiques (au bac entre autre)

La tangente en q1 à la courbe représentant C a pour équation
y-C(q1)=C'(q1)(x-q1)
Elle passe par O(0,0) ssi C(q1)=C'(q1)q1

D'autre part le CM(q) est C(q)/q
sa dérivée est (C'(q)q-C(q))/q²
S'il admet un minimum en q1, celui ci annule la dérivée donc C'(q1)q1=C(q1)

On retrouve la condition précédente...