Equa diff du second ordre.

[lisachatroux]

Bonjour,

J'ai deux équations à résoudre.

Pour la solution particulière de la première, j'avoue que je ne sais pas quoi injecter.

http://www.noelshack.com/2022-14-4-1649 ... 192124.jpg

Pour la solution particulière de la seconde, j'ai injecté mais je crois que je trouve un truc faux

http://www.noelshack.com/2022-14-4-1649 ... 192124.jpg

[catamat]

Bonjour
C'est deux fois la même!!

(ax²+bx+c)e^(2x) devrait fournir une solution particulière

[mathelot]

Bonjour Lisa,
tu as copié deux fois la même photo.

[Pisigma]

Bonsoir,

@catamat : n'est-ce pas plutôt

[mathelot]

Bonsoir,

@catamat : n'est-ce pas plutôt

oui, quand l'exponentielle du membre de droite est solution de l'équation homogène, on prend comme solution particulière un polynôme de degré incrémenté de 1 (donc ici ()

On injecte , on trouve comme solution particulière de l'équation avec
second membre:



PS: avec Wolfram Alpha, on obtient https://www.wolframalpha.com/input?i=y%22-4y%3Dx%5E2+e%5E%7B2x%7D

[Pisigma]

@mathelot : j'avais trouvé la même réponse

[mathelot]

@mathelot : j'avais trouvé la même réponse

super..

[lisachatroux]

@mathelot et @Pisigma merci oui du coup je n'étais pas sûre pour le degrés trois je voulais avoir confirmation.

Du coup voila la seconde image sur ce que j'ai injecté dans ma deuxième équa diff.

http://www.noelshack.com/2022-14-5-1649 ... 192142.jpg

[lisachatroux]

J'aimerais savoir aussi pour la solution particulière de la première équation pourquoi on n'injecte pas :
(axcube + bxcarré + cx + d)exponentielle(2x) ?

[mathelot]

J'aimerais savoir aussi pour la solution particulière de la première équation pourquoi on n'injecte pas :
(axcube + bxcarré + cx + d)exponentielle(2x) ?

Pour trouver une solution particulière de l'équation E, on n'a pas besoin du terme qui est de la forme
Ce terme est déja traité dans la solution générale de

question 2, injection:

il y a une erreur, ce n'est pas -9a+3b-2a=a mais -9a+3b-2a=1

[lisachatroux]

Ah bon ? mais on le traite toujours avec notre prof

En injectant d je trouve une solution particulière différente : (1/5(xcarré) - 1/10(x))exp(2x)

[mathelot]

Comme je te le disais, il y a une erreur de calcul dans l'injection (de la solution particulière) , deuxième exercice.

On doit trouver a=-11/130 et b=3/130


Pour la solution particulière du 1er exercice, la solution particulière que l'on a donnée est exacte, elle est validée par PiSigma et par le logiciel Wolfram. En injectant avec un terme en de^{2x}, les d doivent se simplifier et ne donner aucune condition particulière, vu que cette fonction appartient au noyau de l'application linéaire ?
je n'ai pas fait le calcul.

[mathelot]

Exercice 2, avec Wolfram:
https://www.wolframalpha.com/input?i=y% ... os%283x%29

[Pisigma]

Exercice 2, tu dois résoudre le système



(*) est le coefficient de dans l'équation de départ

(**) car il n'y a pas de terme en dans l'équation de départ

[lisachatroux]

ah oui merci @mathelot je viens de voir mes erreurs bêtes

[mathelot]

J'aimerais savoir aussi pour la solution particulière de la première équation pourquoi on n'injecte pas :
(axcube + bxcarré + cx + d)exponentielle(2x) ?

La 1ère équation peut s'écrire

où L est l'application linéaire


Si on cherche une solution particulière de l'équation (1) , rajoutons pour voir une fonction avec d réel.
il vient

comme L est linéaire

Comme u appartient au noyau de L,
d'où

On voit sur cet exemple que les fonctions qui sont solution de ne jouent aucun rôle
dans la recherche d'une solution particulière. La recherche d'une solution particulière se fait modulo
les fonctions k_1e^{2x} et k_2 e^{-2x} et réels.
(un peu comme quand on calcule des mesures d'angles, on effectue les opérations modulo )
Pour simplifier, on prend donc d=0

[lisachatroux]

merci @mathelot pour tes explications