Compréhension de formule derivé / tangeante

[Casper75]

Bonjour,
J'apprend les derivés et il y a quelque chose que je ne comprend pas du point de vue logique.
Voila, la derivé donne le coefficient directeur entre deux points A et M, et si on les rapproche à l'infini ça donne le coefficient de la tangeante en un point. Ok. Sauf que si on rapproche A et M en un point, la distance h entre ces deux point est de zero en abscisse comme en ordonné. Donc je ne comprend pas comment on peut obtenir un coefficient directeur entre deux point qui se touchent. Ou est la magie ? La limite d'un nombre qui tend vers zero n'as aucun information autre que le zero vers lequel il tend et le sens de son signe

Avec la formule :
T1(h) = [ f(a + h) -f (a) ] / h
Si F(x) = x²

Si je remplace "h" par zero et "a" par 1 :
T1(h)= [ f(2 + 0) -f (2)] / h = [(1 + 0)² - (1)²] / 0 = 1- 1 / 0

J'obtiens :
T1(h) = 0 / 0

Ou est mon erreur ?
Merci

[vam]

Bonjour

ta formule est fausse
tu calcules le rapport [ f(a + h) -f (a) ] / h

et ensuite tu cherches la limite de ce rapport quand h tend vers 0...mais tu ne remplaces pas du tout h par 0

si cette limite existe et est finie, c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé en a

[Casper75]

Bonjour

ta formule est fausse
tu calcules le rapport [ f(a + h) -f (a) ] / h

et ensuite tu cherches la limite de ce rapport quand h tend vers 0...mais tu ne remplaces pas du tout h par 0

si cette limite existe et est finie, c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé en a

Dsl j'ai edité après post
J'ai toujours du mal à comprendre comment ce rapport peut exister avec un h proche de zero . Je reflechis

[vam]

tu devrais prendre un exemple
f(x)=x² est-elle dérivable en a=3

tu calcules f(3)
f(3+h)
f(3+h)-f(3)
puis le quotient [f(3+h)-f(3)]/h que tu simplifieras, et ensuite tu en prendras la limite quand h tend vers 0

tu le fais ?

[Casper75]

Oui en en fait la ou je bug, c'est sur ce passage

T1 ( h ) = [2h + h² ] / h
D'ou T1(h) = 2 + h
Donc T1(h qui tend vers zero )= 2

Certe, mais si je remplace directement le h par un 0 dans le premier calcul, le résultat n'est pas le même :

T1 ( h ) = [2h + h² ] / h
T1 ( h qui tend vers zero ) = [2x0 + 0² ] / 0 = 0 /0

[Casper75]

Dans une division comme [2x0 ] / [1x0 ] on ne peux pas obtenir 2/1 en barrant les zeros. Donc pourquoi ici ça serait le cas ?

[vam]

mais tu ne peux pas remplacer h par 0, car la division par 0 n'existe pas
et la définition, est que h tend vers 0 (sans être égal à 0)
donc tu passes ici par la simplification et ensuite tu fais tendre h vers 0
tu comprends ?

[Casper75]

Je comprend sans comprendre.
Parce-que quand h tend vers zero on le remplace bien par zero pour trouver ce vers quoi ça tend, dans les deux cas ( simplifié ou non ). Donc je vois ça comme un tour de passe passe qui fonctionne sans être capable de le comprendre. Je peux seulement m'en tenir au la formule et répondre mais bon..

[catamat]

Bonsoir

En fait dans les deux cas que ce soit (h²+2h)/h ou bien h+2, on a h différent de zéro !

Donc on ne remplace par h par zéro !

En fait on utilise un théorème sur la limite d'une somme

On sait que si u a pour limite a et v a pour limite b quand disons h tend vers zéro alors u+v a pour limite a+b quand h tend vers 0.
Ici u(h)=2 et v(h)=h, a vaut 2 et b vaut zéro donc la limite de la somme est 2+0 soit 2.

En gros on ne "remplace" par des valeurs mais par des limites, la différence étant que la limite n'est pas atteinte même si l'on s'en rapproche autant que l'on veut.

[mathelot]

La bonne orthographe est "tangente"