Equation différentielle

[Cléclé]

Bonjour
J'aurai besoin d'un coup de main avec un exercice s'il vous plait.

Soit T la température des macarons au bout de t minutes après leur sortie du congélateurà -18°C .
On les places dans une pièce à 20°C. Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de 1°C.
Soit T' la vitesse de décongelation. On suppose que T vérifie l'équation différentielle : T'(t)=a(T(t)-20) ou a est un réel.

1.Vérifier que T'-aT=-20a

2.Résoudre cette équation et donner l'ensemble des solutions en fonction de a.

3.Montrer que T(t)=20-38e^(-t ln 2/15).

4.La température idéale de dégustation des macarons étant de 15°C, on estime que celle-ci sera atteinte au bout de 30 minutes. Est-ce exact ? Justifier.
Sinon, combien de temps faudra t-il attendre ?


Merci de votre aide.

[Pisigma]

Bonjour,

1) développe

2) cela revient à résoudre

[Black Jack]

Bonjour,

Pas sûr que cette méthode soit enseignée au Lycée. (variables séparables)

Alternative :

a)

Chercher les solutions de l'équation avec second membre = 0 (sans second membre dit-on eronnément)

T' - aT = 0 a pour solutions T = ...
****
b)

Chercher une solution particulière à l'équation T' - aT = -20a

En regardant bien c'est immédiat.
****
c)

Les solutions générales sont la somme des solutions trouvées aux points a et b
****

d)

Déterminer la valeur de la constante d'intégration (qui vient du point a) en se servant de la condition initiale T(0) = -18

Déterminer la valeur de "a" en se servant de la condition T(15) = 1

[Pisigma]

Bonjour Black Jack,

Pas sûr que cette méthode soit enseignée au Lycée. (variables séparables)

d'après ce que j'ai déjà pu voir, je pense que si mais tu as peut-être raison; il faudrait l'avis d'un prof de Lycée

[catamat]

Bonjour

En TS on démontre que y'=ay+b a pour solution générale

[catamat]

On a donc T(t)=

et T(0)=-18 donne k,
puis T(15)=1 donne a.

[Pisigma]

Bonjour et merci catamat : c'est bien ce qui me semblait