Bonjour,
J'aimerais savoir comment résoudre ces exercices :
http://www.noelshack.com/2022-10-6-1647 ... -table.png
Merci,
Lisa.
Valeurs propres.
21 messages
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Re: Valeurs propres.
par tournesol » 12 Mar 2022, 15:04
Il s'agit quasiment de questions de cours et faciles .
Re: Valeurs propres.
par mathelot » 12 Mar 2022, 16:34
Bonjour Lisa,
A une application linéaire
de 
dans on associe une matrice A de taille 2x2 ,i.e, deux lignes et deux colonnes.. On a nommé A la matrice de f dans la base canonique de .
La base canonique de est constituée des vecteurs)
et )
Les propriétés de f suivantes sont équivalentes:
i) f est bijective
ii) f est injective
iii) f est surjective
iv) \neq 0)
définition d'un vecteur propre:
un vecteur propre de A , noté)
est un vecteur non nul vérifiant la condition:
il existe
réel tel que 
on note
la matrice identité:
)
On a
pour tout vecteur X de
exercice 1:
Pour la suite, on pose:
)
On suppose le vecteur X non nul et un réel.
Pour trouver les vecteurs propres de A, on pose l'égalité:
)
Cette égalité équivaut à:
(X)=0)
est la matrice d'une application non injective.
=0)
or)
il s'agit de chercher les deux réels
et 
qui vérifient
l'équation du second degré d'inconnue:
A une application linéaire
La base canonique de
Les propriétés de f suivantes sont équivalentes:
i) f est bijective
ii) f est injective
iii) f est surjective
iv)
définition d'un vecteur propre:
un vecteur propre de A , noté
il existe
on note
On a
exercice 1:
Pour la suite, on pose:
On suppose le vecteur X non nul et
Pour trouver les vecteurs propres de A, on pose l'égalité:
Cette égalité équivaut à:
or
il s'agit de chercher les deux réels
l'équation du second degré d'inconnue
Re: Valeurs propres.
par lisachatroux » 13 Mar 2022, 18:02
@tournesol merci de ta pédagogie c'est vrai je suis inculte je n'arrive même pas à lire mon cours.
Coucou @mathelot merci pour toute ta rédaction (mon prof y tient beaucoup). J'ai essayé de calculer les valeurs propres et vecteurs propres d'une autre matrice est-ce que tu peux me dire si c'est bon ?
http://www.noelshack.com/2022-10-7-1647 ... 165500.jpg
http://www.noelshack.com/2022-10-7-1647 ... 165505.jpg
D'ailleurs je ne sais pas comment trouver le deuxième vecteur propre.
Coucou @mathelot merci pour toute ta rédaction (mon prof y tient beaucoup). J'ai essayé de calculer les valeurs propres et vecteurs propres d'une autre matrice est-ce que tu peux me dire si c'est bon ?
http://www.noelshack.com/2022-10-7-1647 ... 165500.jpg
http://www.noelshack.com/2022-10-7-1647 ... 165505.jpg
D'ailleurs je ne sais pas comment trouver le deuxième vecteur propre.
Re: Valeurs propres.
par GaBuZoMeu » 13 Mar 2022, 19:14
Coucou @mathelot merci pour toute ta rédaction (mon prof y tient beaucoup).
Il tient sûrement beaucoup à ce que TU saches rédiger. Du coup, n'y aura-t-il pas tromperie sur la marchandise ?
Re: Valeurs propres.
par mathelot » 13 Mar 2022, 19:20
Bonsoir,
je réponds à cet exercice:
http://www.noelshack.com/2022-10-7-1647 ... 165500.jpg
Il y a deux erreurs:
- la matrice est la matrice d'une application non injective (tu as oublié le "non")
- le calcul du déterminant comporte quelques petites erreurs de calcul
)
=<br />\left|\begin{array}{cc}<br />-2 - \lambda & 2 \cr<br />3 & 3-\lambda \cr<br />\end{array}<br />\right|)
=(-2-\lambda)(3-\lambda)-6)
=(2+\lambda)(\lambda-3)-6)
=\lambda^2-\lambda-12=0)
=49=7^2)
d'où deux racines
La matrice A admet deux valeurs propres: 4 et -3
je réponds à cet exercice:
http://www.noelshack.com/2022-10-7-1647 ... 165500.jpg
Il y a deux erreurs:
- la matrice
- le calcul du déterminant comporte quelques petites erreurs de calcul
d'où deux racines
La matrice A admet deux valeurs propres: 4 et -3
Modifié en dernier par mathelot le 13 Mar 2022, 19:30, modifié 1 fois.
Re: Valeurs propres.
par mathelot » 13 Mar 2022, 19:27
Essaye de trouver deux vecteurs propres de la matrice A en résolvant successivement les systèmes:
soit)
(X)=0)
puis le second système
(X)=0)
soit
puis le second système
Modifié en dernier par mathelot le 13 Mar 2022, 19:50, modifié 1 fois.
Re: Valeurs propres.
par mathelot » 13 Mar 2022, 19:49
GaBuZoMeu a écrit:Coucou @mathelot merci pour toute ta rédaction (mon prof y tient beaucoup).
Il tient sûrement beaucoup à ce que TU saches rédiger. Du coup, n'y aura-t-il pas tromperie sur la marchandise ?
Lisa, mes explications sont destinées à ce que tu comprennes ce que tu écris, pas à être recopiées telles que.
Re: Valeurs propres.
par mathelot » 13 Mar 2022, 20:05
nan, tes systèmes ne sont pas exacts.
pour la valeur propre
<br />\left(\begin{array}{c}<br />x \cr<br />y \cr<br />\end{array}<br />\right)<br />=<br />\left(\begin{array}{c}<br />0 \cr<br />0 \cr<br />\end{array}<br />\right))
soit
<br />\left(\begin{array}{c}<br />x \cr<br />y \cr<br />\end{array}<br />\right)<br />=<br />\left(\begin{array}{c}<br />0 \cr<br />0 \cr<br />\end{array}<br />\right))
pour la valeur propre
soit
Modifié en dernier par mathelot le 13 Mar 2022, 20:09, modifié 1 fois.
Re: Valeurs propres.
par lisachatroux » 13 Mar 2022, 20:07
@mathelot je sais, je ne te demandais pas la réponse d'exercices concernant un devoir maison que je copie collerais (contrairement à ce que certains peuvent croire), je te demande par rapport à des exercices d'examens d'années précédentes dont je n'ai pas de correction afin d'avoir la méthode et de pouvoir la reproduire et m'entraîner.
Le but de ma phrase était de te remercier d'avoir pris la peine de m'indiquer la rédaction car cela va m'aider pour mon examen de demain, examen autour duquel mon professeur a bien mis l'accent sur la rédaction.
J'ai d'ailleurs de grosses difficultés en maths pas à intégrer les méthodes mais à rédiger.
Le but de ma phrase était de te remercier d'avoir pris la peine de m'indiquer la rédaction car cela va m'aider pour mon examen de demain, examen autour duquel mon professeur a bien mis l'accent sur la rédaction.
J'ai d'ailleurs de grosses difficultés en maths pas à intégrer les méthodes mais à rédiger.
Re: Valeurs propres.
par lisachatroux » 13 Mar 2022, 20:09
Je ne vois pas où est-ce que j'ai fait l'erreur ?
Re: Valeurs propres.
par mathelot » 13 Mar 2022, 20:16
pour la valeur propre
Les coordonnées des vecteurs propres X (x;y) pour la valeur propre 4, vérifient:
Les coordonnées des vecteurs propres X (x;y) pour la valeur propre 4, vérifient:
Re: Valeurs propres.
par mathelot » 13 Mar 2022, 20:22
lisachatroux a écrit:Je ne vois pas où est-ce que j'ai fait l'erreur ?
C'est ta matrice
Re: Valeurs propres.
par lisachatroux » 13 Mar 2022, 20:30
Pourquoi il faut soustraire 4 juste à la diagonale et pas à tous les termes ?
Et pourquoi il faudrait pas ajouter trois juste à la diagonale pour V2 ?
Et pourquoi il faudrait pas ajouter trois juste à la diagonale pour V2 ?
Re: Valeurs propres.
par mathelot » 13 Mar 2022, 20:40
Pourquoi il faut soustraire 4 juste à la diagonale et pas à tous les termes ?
parce que la matrice
est
)
parce que la matrice
Re: Valeurs propres.
par mathelot » 13 Mar 2022, 20:44
mathelot a écrit:pour la valeur propre
Les coordonnées des vecteurs propres X (x;y) pour la valeur propre 4, vérifient:
On voit que les deux lignes sont proportionnelles. Le système se réduit à une seule égalité et deux inconnues.
3x-y=0. on peut donner à x la valeur 1, ce qui donne 3 pour y et le vecteur propre a pour coordonnées
essaye de faire de même pour la valeur propre -3.
Re: Valeurs propres.
par lisachatroux » 13 Mar 2022, 21:11
Du coup il faut toujours ajouter ou soustraire en diagonale en fait ?
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