Equation exponentielle

[johnsmith]

Bonjour,
Je suis nouveau sur ce forum, donc je ne suis pas sur de poster au bon endroit.
Je cherche à résoudre l'équation suivante :



Je ne connais pas d'autre méthode qu'utiliser la fonction Ln pour enlever les exponentielles, or là je n'arrive pas à factoriser car à cause du premier "30" je me retrouve toujours avec une expression du type
.

Bref je tourne en rond. Si quelqu'un avait un indice à me donner, j'en serais reconnaissant.

Merci.

[Black Jack]

Bonjour,

e^(0,5x - 1) = 30 - 30.e^(-0,2x)
e^(0,5x)/e = 30 - 30.e^(-0,2x)

Poser e^(0,1x) = X (X > 0)

X^5/e = 30 - 30/X²

X^7/e = 30X² - 30

X^7 - 30e.X² + 30e = 0

calculette --> on ne garde que les solutions réelles positives qui sont (arrondies) :

X1 = 2,31378893606 et X2 = 1,0063914948

e^(0,1x) = 2,31378893606 --> x = 8,38886412883
e^(0,1x) = 1,0063914948 --> x = 0,06370162166

S : {0,06370162166 ; 8,38886412883}

[johnsmith]

Merci beaucoup,

Super bien vu comme substitution. J'ai tout compris jusqu'à "calculette". C'est la 1ere fois que je dois résoudre une équation de degré 7 et je ne suis pas sur que ma calculatrice en soit capable mais c'est pas grave je devrais trouver.

Encore merci.

[Black Jack]

Rebonjour,

Sans calculette sachant résoudre des équations polynomiales ...

X^7 - 30e.X² + 30e = 0 (avec X > 0)

Soit f(X) = X^7 - 30e.X² + 30e

f'(X) = 7X^6 - 60e.X = X.(7X^5 - 60.e) ... est du signe de (7X^5 - 60.e) puisque X > 0

f'(X) < 0 pour x compris dans ]0 ; (60.e)/7)^(1/5)] --> f est décroissante
f'(X) = 0 pour x = (60.e)/7)^(1/5)
f'(X) > 0 pour x compris dans ](60.e)/7)^(1/5) ; oo] --> f est croissante

f est minimum pour x = (60.e)/7)^(1/5) et ce min vaut f((60.e)/7)^(1/5)) = -123,... < 0

lim(X-->0+) f(X) = 30e > 0
lim(X--> +oo) f(X) = + oo
f(3) = 1534,... > 0

Des 6 lignes précédentes, on peut déduire que f(X) = 0 a exactement 2 solutions réelles, une comprise dans ]0 ; (60.e)/7)^(1/5)[ et l'autre dans ](60.e)/7)^(1/5) ; 3[

On peut approcher la valeur de chacune de ces solutions par approximations successives par exemple par la méthode dichotomique ... du niveau lycée.

[johnsmith]

Merci beaucoup .

Comme pour la première réponse, c'était très clair. J'ai pu aller jusqu'au bout cette fois.

Encore merci.