Les dérivées

[Mayaaa27]

Bonjours j'aurais besoins d'aide car je suis coincée sur une question. Voici mon exercice:

Soit f la fonction définie sur R\{-1} par f(x) = x²-2x + 4-3/(x+1 )
On note C la représentation graphique de f dans un repère orthogonal (1 cm = 1 unité en abscisses et 1 cm = 5 unités en ordonnées)
1. Calculer f'(x) et montrer que f'(x) =P(x)/(x+1)² où P(x) est un polynôme de degré 3.
2. a. Calculer P(x) puis étudier les variations de P sur R.
b. Justifier que P>0 sur [-1/3;+infini[.
c. On admet que l'équation P(x) = 0 admet une solution unique a(alpha) dans R.
A l'aide de la calculatrice (tableau de valeurs ou graphique), donner un encadrement de a(alpha) à 10-² pres. Placer a dans le tableau de variations de P et en déduire le signe de P(x) suivant les valeurs de x 3. En déduire le signe de f' sur R/{-1} puis dresser le tableau variations de f. On donnera une valeur apprachée de f(a) a 10-² près.

Je suis bloquée à la question c.
En sachant que f'(x)=2x-2+3/(x+1)²
P(x)=2x³+2x²-2x+1 et que P'(x)=6x²+4x-2
P(x) est croissant sur -infini;-1 il est décroissant sur -1;1/3 puis croissant sur 1/3;+ infini
Merci d'avance

[mathelot]

Bonjour,

Est-ce ?

[Mayaaa27]

Oui désolé c'est bien ça

[mathelot]

je passe mon tour...je dois y aller

[Mayaaa27]

Merci quand même

[Rdvn]

Bonsoir

Calculez P(-2) et P(-1) , que remarquez vous ?

Remarque : par ailleurs le tableau de variations de P montre qu'on a P(x)>0 sur
[-1, +infini[ et que P(x) ne s'annule qu'une seule fois sur ]-infini, -1]

[Mayaaa27]

Bonjour, merci de m'avoir répondu
J'ai calculé P(-2)=-3 et P(-1)=3
Ce qui veut dire que a se trouve entre -2 et -1 mais comment je fais pour affiner ma recherche étant donné que je doit faire un encadrement de a à 10-² prés

[Rdvn]

Votre réponse est bonne mais doit être justifiée davantage
(en principe vous avez vu en cours des théorèmes sur ce genre de situation)
Pour affiner la précision on utilise , par exemple,la méthode du balayage
(on peut utiliser un tableur) :
on calcule P(x) pour
x = -1,9
x=-1,8
etc ...
x=-1,1
Puis on applique le même principe
Puis de même pour les centièmes
Bon courage, je vous revoie ce soir, je suis occupé tout l'après midi

[Mayaaa27]

J'ai donc trouvé que a était entre -1,74 et -1,73
Et ensuite j'ai déduit le signe de P qui est négatif puis positif ( change de signe à a)
Est ce bien ça?

[Rdvn]

Bon , j'ai trouvé 5 mn ...
Vos résultats sont bons
Je pense qu'il faut justifier davantage l'existence de alpha (théorème des valeurs intermédiaires,
cas des fonctions strictement croissantes, ou strictement décroissantes)
Il faut aussi justifier le signe sur [-1,+infini[ par le tableau de variations.
Vous pouvez aussi vous appuyer sur une représentation graphique de la fonction P.
Fin ce soir si vous avez d'autres questions

[Mayaaa27]

Merci pour votre aide
J'aimerai savoir juste pour la dernière question comment on déduit le signe de f'

[Rdvn]

Question 1 :
f ' (x) = P(x)/(x+1)^2
donc
f ' (x) est du signe de P(x) sur R-{-1}
Autre question ?

[Mayaaa27]

Nan c'est bon merci beaucoup:))

[Rdvn]

OK
Bonsoir