Trouver une matrice inversible P qui vérifie PX=Y

[chombier]

Bonjour,

En regardant cette vidéo de Phil Caldero https://www.youtube.com/watch?v=Rmpxw9M2xcQ&t=76s (magnifique au passage), il passe rapidement sur quelque chose que j'ai du mal à trouver évident :

Si X et Y , deux éléments de K^n, sont sont nuls alors il existe une matrice inversible P qui vérifie PX=Y.

Je me retrouve avec trois bases : la base canonique e=(e_1, ..., e_n) et deux bases complétée B=(X, u_2, ..., u_n) et B'=(Y, v_2, ..., v_n).

J'appelle P la matrice de passage de e vers B : P = (X | u_2 | ... | u_n)
J'appelle Q la matrice de passage de e vers B' : Q = (Y | v_2 | ... | v_n)

Ainsi, P e_1 = X, donc e_1 = P^-1 X
Ainsi, Q e_1 = Y, donc Q e_1 = Q Y, donc Q P^-1 X = Y

La matrice Q P^-1 conviens.

Je suis sur qu'il y a beaucoup plus simple, si quelqu'un a une solution élégante ou un éclairage (en terme d'application linéaire peut-être), ou un théorème qui résume tout, je suis preneur.

[tournesol]

Bonjour chombier
Tu considére l'application lineaire u qui transforme ta premiere base B en la deuxieme B'.
Elle verifie u(X)=Y
Sa matrice dans la base canonique repond au pb.

[chombier]

Je vais essayer de montrer que u existe et qu'elle est inversible.

u est inversible :
Inverse Admettons que u existe toujours.
Il existe alors une application linéaire v qui transforme B' en B, v est l'inverse de u donc u est inversible.
Pour prouver l'existence de u, c'est plus dur.

u existe :
Une application linéaire est entièrement déterminée par l'image des vecteurs d'une base (C'est sans doute ce que Phil Caldero appelle "théorème fondamental de l'algèbre linéaire"). On a donc existence et unicité. On voit en plus que u est surjective, puisque la base B' est dans son image, ce qui implique aussi qu'elle est bijective (car E est de dimension finie), donc que sa matrice est inversible.

Merci beaucoup, c'est en effet plus synthétique comme raisonnement, et un poil plus abstrait.

[tournesol]

La matrice de u dans(B K^n ) vers (K^n,B') est l'identité .
Rappel:
Une application linéaire est injective (rep.surjective)ssi l'image d'au moins une base est libre(resp. génératrice) que les dimensions soient finies ou non .

[chombier]

Merci, c'est le chainon manquant la matrice de u de la base B à la base B', j'aurais du écrire .

On retrouve la formule :
1) P^-1 passe de e à B
2) A calcule l'image de B vers B"
3) Q passe de B' à e



Pas facile de ne pas se mélanger entre les matrices de passage, les matrices d'endomorphismes, les différentes base...