Polynôme annulateur X⁴-1

[LandAyZ]

Bonjour, je suis en sup de MPSI et j'ai un problème sur les polynômes. Voici la question :
"K = R, A = L(R²). Montrer que u = ((x.y) |-> (-y,x)) admet X⁴-1 comme polynôme annulateur non nul."
En fait, ce qui me dérange ce n'est pas tant le X⁴ car j'ai compris que X⁴(u) = u. Mais le -1 me dérange, car si on fait u - 1 rien ne nous garanti que cela fera 0. Alors peut être que quelque chose m'échappe. Je me demande d'ailleurs si le 1 ne voudrait pas plutôt dire l'identité car dans ce cas là on aurait u - u qui est égal à 0 mais pourquoi ne pas directement mettre X⁴ - X dans ce cas là ?
Merci d'avance.

[SuperPoule]

Bonjour,
on a pas (X^4)(u) = u, mais plutôt (X^4)(u)=Id, car u^4(x,y) = (x,y)

[LandAyZ]

Oui désolé erreur de compréhension. Je me suis embrouillé mais c'est bien ce que je voulais dire. Mais certes cela reste flou pour moi pourquoi quand on fait (X^4-1)(u) cela ferait 0.

[SuperPoule]

Parce que 1=X^0, et par définition u^0=Id. Donc (X^4-1)(u) = u^4-Id = 0 ici.
En gros, si P(X)=1 alors P(u)=Id

[tournesol]

As tu étudié la structure d'anneau unitaire .