Définition résultat asymptotique

[Ssbb]

Bonjour, quand on dit que le théorème de Moivre Laplace est un résultat asymptotique, que veut dire le terme asymptotique au juste ?

Merci d’avance pour votre réponse

[GaBuZoMeu]

Le théorème dit que quand le nombre d'épreuves tend vers l'infini, la loi binomiale centrée réduite converge vers la loi normale (c'est mal dit, mais bon ...).
Il dit ce qui se passe asymptotiquement, c.-à-d. à la limite quand tend vers l'infini.

[Ssbb]

D’accord mais un peu plus globalement dans le théorème central limite, quand je prend Sn=1/n somme(Xi) avec Xi va indépendante de même loi, on a donc Sn* (va centré réduite) qui converge en loi vers une va normale centrée réduite. Est-ce ce que je peux dire que Sn* SUIT une loi normale centrée réduite ?

[GaBuZoMeu]

Bien sûr que non.
Encore une fois le TCL est un résultat asymptotique, un résultat qui parle de limite.
Exemple très simple : 1/x tend vers 0 quand x tend vers l'infini, autrement dit l'axe des abscisses est asymptote au graphe de 1/x au voisinage de l'infini. Mais ce n'est pas pour cela que 1/x est nul, même pour x grand.

[Sylviel]

Je rejoins entièrement GBZM.

Asypmptotique veut dire « ce qu’il se passe quand n est grand »

Par exemple on pourrait dire que a*n +b +c /n ressemble asymptotiquement (ce n’est pas le terme exact, mais c’est l’idée) à a*n+b. En effet, quand n est grand, c/n est négligeable devant les deux autres termes.

C’est aussi ce que dit le TCL : la limite de la somme est quelque chose.
Ce que tu as nommé Sn* c’est pour un n fini, pas pour n infini, donc le théorème ne dis pas que Sn* SUIS une loi normale.

D’ailleurs si tu prends une somme finie de loi de Bernoulli (centrée réduite) tu as une loi discrète, donc pas une loi normale. Et la loi exacte de Sn dépends de la loi de Xi : Binomiale pour une somme de Bernoulli, Normale pour une somme de normales, sans nom pour une somme d’exponentielles, de Cauchy pour une somme de lois de Cauchy…
La magie du TCL est de dire que, quelle que soit la loi de Xi (de carré intégrable), la loi de Sn* tends vers (converge en loi) une loi centrée réduite.

Intuitivement tu peux dire que le TCL dis que, pour n grand, ta somme Sn* ressemble à une loi normale. Mais ce n’en est pas exactement une. (Il y a même un théorème, de Berry-Essen, qui quantifie la différence entre Sn* et une loi normale centrée réduite).