Probabilité

[stephsay]

Bonjour à tous,

je ne comprend pas bien un exercice sur les vecteurs gaussiens

Enoncé :
Soit (X,Y,Z)t (translation) un vecteur gaussien centrée dans R3 de matrice de covariance K. On sait que X est de variance 2, Y de variance 3 et Z de variance 4. On suppose aussi que X est indépendant de Z et X-2Y. Enfin, on suppose que E[YZ] = 1

1) montrer que la matrice de covariance est K = \begin{bmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1\\
0 & 1 & 4
\end{bmatrix}

je ne sais pas comment expliquer les 1 qui sont dans la matrice et je ne sais pas comment faire les questions suivante

2) donner la loi de T = X+Y-Z
J'ai trouvé que la variance vaut 9 mais je ne sais pas comment trouver l'espérance

3) donner sa fonction caractéristique

4) donner la loi de (X,Y,Z,T) . ce vecteur admet-il une densité ?

6) donner la densité de X

Merci pour votre aide

[phyelec]

Bonjour,

question a)

pour la matrice les valeurs de la diagonales les variances de X,Y et Z. Les autres sont les covariances.
si j'appelle A la matrice, on a A(3,1)=Cov(Z,X)=0 et A(1,3)Cov(X,Z)=0 donc X et Z sont indépendante.


Cov(Y,X)=Cov(X,Y)= 1 =E(XY)-E(X)E(Y) donc X et Y ne sont pas indépendantes.

ect...

[phyelec]

2) donner la loi de T = X+Y-Z
vérifier votre calcul

appliquez les formules ( vérifier dans votre cours la formule générale, rappel ) :

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pour 1), l'hypothèse qui te reste à utiliser en vue de justifier les 1 dans la matrice est que et sont indépendants. Donc ...

[stephsay]

Vu que X et X-2Y sont indépendants, on a :
Cov(X,X-2Y) = 0 donc E[X²-2XY] - E[X]E[X-2Y] = 0 et E[X²]-2E[X]E[Y] - E[X](E[X]-2E[Y])=0 mais après je ne sais pas quoi faire

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas ta deuxième égalité. Peux-tu expliquer ? D'où sort le qui y figure ?
Par ailleurs, tu sembles oublier que sont centrées. Qu'est-ce que ça implique pour et ?

[stephsay]

Il me semble que quand elles sont centrées leurs espérances valent 0 et leurs variances 1

[tournesol]

Centré n'implique pas réduite .Donc pas OK pour la variance.

[stephsay]

Pouvez-vous m'expliquer la différence entre "centrée réduite" et "centrée" et "réduite"?

Est-ce que centrée veut dire espérance vaut zéro ? et réduite veut dire variance vaut 1 ?
du coup centrée réduite serait espérance = 0 et variance = 1 ?

[Kekia]

C'est exactement ça.
Petite remarque au passage, tu as utilisé E(XY)=E(X)E(Y) or cette égalité est vraie lorsque X et Y sont indépendantes. C'est pourquoi GaBuZoMeu n'était pas trop d'accord avec ta deuxième égalité. C'est le but de calculer E(XY) pour remplir la matrice de covariance et X et Y ne sont pas indépendantes dans ton exercice.

[stephsay]

Vu que ce ne sont pas des variables indépendantes, comment je peux faire pour calculer ?

[Kekia]

Tu repars de l'indication de GaBuZoMeu qui te donne une égalité avec .
Tu connais , et il y a moyen de trouver grâce à que tu connais également donc tu peux calculer
Ensuite tu en déduis la covariance, essaye