évaluations p-adiques

[mathscool]

Bonjour,
Dans une correction, j'ai lu que que la valuation p-adique de factorielle n est la somme des valuations de chaque facteur.
Mais je ne comprends pas pourquoi c'est aussi la somme infinie,
pour k allant de 1 à n,
des
k * Card ( { j <=n tels que valuation de j est égale à k} ) .

Pourquoi multiplie-t-on par k ?

Merci d'avance pour votre réponse.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pas très cohérent ce que tu écris : " la somme infinie, pour k allant de 1 à n" . Si l'indice va de 1 à , ce n'est pas une somme infinie !

Si tu as une famille d'entiers naturels tous inférieurs ou égaux à est-ce que ne serait pas par hasard égale à où est le nombre d'indices tels que ?
Indice : dans la somme des , regroupe les termes de la somme par valeurs.

[lyceen95]

Souvent, on remplace des sommes finies (i de 1 a n) par des sommes infinies (i de 1 a l'infini). C'est une astuce qu'on retrouve de temps en temps. C'est plus facile de manipuler/combiner des sommes quand les bornes de début et de fin sont toujours les mêmes, et pas dépendantes de formules compliquées.
Et surtout, pourquoi on a le droit de faire ça. Parce qu'on s'est assuré que tous les termes qu'on ajoute (i de n+1 à l'infini) sont tous strictement NULS.

n=36 par exemple
p=5
Combien y a-t-il de multiple de ou dans les nombres entre 1 et 36 : aucun. Donc compter tous les multiples de plus tous les multiples de plus etc ..., ce n'est pas faux, on ajoute plein de fois zéro.

Pourquoi multiplie-t-on par k ?

n=36 par exemple
p=5
Les multiples de 5 qui interviennent dans 36! sont : 5 10 15 20 25 30 35
Et 25 est même un multiple de 5²
Quand je vais calculer 36!, le facteur 5 va apparaître 8 fois :
- 6 fois via les facteurs 5 10 15 20 30 35,
- plus 2 fois via le facteur 25
C'est à dire 6 fois via les 6 facteurs tels que
Plus k=2 fois via le seul facteur 25, tel que

[GaBuZoMeu]

Ce qui est en fait plus commode pour le calcul de la valuation -adique de , c'est son expression comme somme sur les entiers des cardinaux des ensembles des entiers entre 1 et tels que la valuation -adique de est supérieure ou égale à , c.-à-d. ceux tels que .