Infinis de Cantor démonstrations.

[GaBuZoMeu]

As-tu lu le fil, Tournesol ?

[tournesol]

Désolé GaBuZoMeu mais je n'avais lu que la première page .
De plus je rectifie
Quand à toi , Lazare , qui dit que la vérité des mathématiques est relative , saches que les logiciens le savent depuis longtemps .
Par exemple la vérité et la démontrabilité sont deux notions differentes .
Dans une théorie mathématique , on écrit des phrases en respectant des règles de syntaxe fixées.
On a ensuite des règles qui opèrent sur ces phrases pour en obtenir d'autre .
Les phrases obtenues par un tel procédé sont dites "démontrées"
Quand à la vérité , ce n'est rien d'autre qu'une fonction de l'ensemble des phrases syntaxiquement correctes dans {0;1}
Lorsque cette fonction associe 1 à toutes les phrases démontrées , on dit que la théorie est sûre (elle ne démontre que des phrases vraies)
Il est raisonnable d'initialiser cette fonction à 1 sur les phrases syntaxiquement correctes qu'on choisit comme axiomes .

[GaBuZoMeu]

Lazare, lis plus attentivement !
J'ai écrit :

Considérons un entier à chiffres, c.-à-d. compris entre et .

Autrement dit et comme je l'ai déjà expliqué, .

Quant au c'est une variable muette, l'indice de sommation qui va de 0 à . Comprends-tu ce que signifie ? C'est

.

[GaBuZoMeu]

Quand à la vérité , ce n'est rien d'autre qu'une fonction de {0;1} dans l'ensemble des phrases syntaxiquement correctes.

Hum hum, une application "valeur de vérité" (classique) va plutôt de l'autre sens : de l'ensemble des formules closes dans {0,1}, ou dans {faux, vrai}.

[GaBuZoMeu]

Encore une fois, sois plus concentré sur ce que tu lis ! Je t'ai déjà expliqué hier à 15h54 que est la notation pour la partie entière du réel , autrement dit c'est l'entier tel que .
J'ajoute que j'avais bien précisé que est un entier à chiffres. Ça serait vraiment étonnant que le nombre de chiffres d'un entier ne soit pas un entier !!
La prochaine fois, avant de poser une question, vérifie si la réponse n'a pas déjà été donnée.

[Sylviel]

La définition de GBZM n'est pas "avec des ciseaux et de la colle", mais une définition mathématique, que cela te plaise ou non.

La fonction partie entière est une fonction constante par morceau, continue à droite, semi continue supérieurement etc...

[GaBuZoMeu]

Déjà est ce que tu valide les affirmations que j'ai faites dans mon message précédent (pour m'assurer que j'ai bon la dessus)?

Déjà, as-tu enfin capté que est un entier, et a toujours été un entier dans ce que j'ai écrit ici ?
Si oui, je valide que est une somme de termes, par définition, et comme on peut s'en apercevoir quand on compte les termes dans



Sylviel t'a déjà répondu sur la définition de la partie entière d'un nombre réel, je ne commenterai pas plus.

[GaBuZoMeu]

Puisque tu insistes :

Pour tout réel il existe un unique entier tel que
Je fais la démonstration de ce théorème pour . Puisque est archimédien, l'ensemble des entiers naturels tels que est non vide. Il a donc un plus petit élément , qui est strictement positif ; posons . On a . Si est un autre entier tel que alors et , donc .
L'unique entier tel que est appelé la partie entière de

[GaBuZoMeu]

Je m'abstiendrai de te répondre tant que tu poursuivras avec une telle mauvaise foi.
Tu as évoqué explicitement dans un de tes messages ton fonctionnement intellectuel différent de la norme. Si ça rend les échanges avec toi impossibles, c'est fort dommage - surtout pour toi. Je te plains.
Moi, j'abandonne. À l'impossible nul n'est tenu. Je t'ajoute désormais à ma liste des ignorés sur ce forum.

[Kekia]

Tout comme Lyceen95 je salue l'investissement et la patience de GaBuZoMeu, elle n'est peut-être pas à toute épreuve (quoi que je l'ai vu persévérer avec des charlatans un certain temps) mais légendaire tout de même.

Lazare, tu ne te rends peut-être pas compte de la chance que tu as (enfin avait) d'avoir un interlocuteur de ce niveau qui répond à tes questions. Le minimum, et ce n'est que mon opinion, serait de le remercier et de ne pas insister outre mesure.

[tournesol]

Bonjour Lazare
GaBuZoMeu t'a déja répondu page 1 à 10h53 que l'on ne peut pas compter les parties avec les éléments du tout.
Tu as déja ressuscité une fois dans une vie antérieure .
Si tu continue à être de mauvaise foi , on utilisera pas la colle et les ciseaux mais le marteau et les clous...

[azf]

Lazare est gentil
J'espère que GaBuZoMeu l'aidera quand même en contrepartie qu'il n'essaye plus d'être de mauvaise foi, plus jamais car les maths ça ne rigole pas et c'est très sérieux.
J'espère que Lazare comprendra que les maths c'est très sérieux : כִּי אִם בְּתוֹרַת יְהוָה, חֶפְצוֹ; וּבְתוֹרָתוֹ יֶהְגֶּה, יוֹמָם וָלָיְלָה

[lyceen95]

Y a t'il une fonction mathématique dans laquelle ou rentre un nombre et qui ressort 0 si ce n'est pas un nombre entier et 1 si c'est un entier?

Drôle de question.
Je reviens à la fonction partie entière. Cette fonction répond à un besoin fréquent. J'imagine qu'un jour, un type dans son garage a défini cette fonction, et il lui a donné un nom . Fonction Lazare par exemple. Et c'est resté anecdotique.
Un autre type a aussi eu besoin de cette fonction, il lui a donné un autre nom. Et progressivement, les matheux en ont eu marre de ce manque, et ils ont fini par se coordonner, et appeler cela la fonction 'Partie Entière'.
Et ils ont noté cette fonction E(), (ou aussi , autre notation, celle avec les crochets bizarres). Et c'est devenu une norme. Et la norme évolue. Quand j'étais lycéen, la notation avec les crochets n'existait pas(elle n'était pas enseignée en lycée).

Revenons à ta fonction qui donne 1 pour tout entier et 0 sinon.
Peut être que les matheux qui s'intéressent à une branche bien particulière des maths ont souvent besoin de cette fonction, et ont convenu ensemble que cette fonction pourrait s'appeler la fonction N-indicatrice (j'invente ce terme, mais pas complètement)
Et peut-être qu'il y a un groupe de matheux très pointus qui ont décidé que cette fonction se noterait d'une certaine façon, avec je ne sais quelle lettre grecque ou thaïlandaise ou autre...
Mais on s'en fout.
Si toi, tu as besoin de cette fonction, tu as le droit de l'inventer.
A partir du moment où tu définis clairement un objet, tu peux l'utiliser.

Soit la fonction de vers {0,1} définie par
si
si
Voilà, j'ai défini ma fonction mathématique.
Je peux utiliser cette fonction dans la suite de mon message.
Je n'ai pas besoin de demander une autorisation à je ne sais quel organisme.
Et cette fonction que je viens de définir, elle va s'auto-détruire aussi vite que je l'ai créée.
Cette notation est valable ici, dans ce message. Elle ne devient pas universelle / mondiale d'un coup de baguette magique.

Si je l'emploie souvent, en rappelant à chaque fois comment je définis dans des publications qui sont beaucoup lues par des gens très influents, et qui reprennent cette notation de leur côté, cette notation finira peut-être par devenir un standard. Mais ne rêvons pas, cette notation restera juste entre toi et moi.

[Sylviel]

Edit : Le message de lycéen est très bien, et explique clairement une partie de ce que je voulais dire sur le sujet.

Une fonction qui utilise autre chose que des opérateurs "automatiques", "non manuels" de la famille des + - * / ... ect... ne devrait pas avoir le droit se s'appeler une fonction mathématique par contre je lui donne le droit de s'appeller de la grammaire des chiffres ou de l'art.

Ceci montre juste que tu ne comprends pas ce qu'est une fonction.

Techniquement une fonction est définie comme un triplet (E,F,G), o
E est un ensemble (de départ)
F est un ensemble (d'arrivée)
G est un sous ensemble de E x F, tel que pour tout (x,y) \in G, (x,y') \in G on a y = y'.

En français cela signifie qu'une fonction, étant donné son ensemble de départ et d'arrivée,
est un objet qui associe à chaque x de E un unique élément y de F.

Il n'y a absolument rien qui est dit sur la manière d'associer ce y à x.
Cela permet de représenter des fonctions au comportement extrêmement étrange et
contre-intuitif.
Quelques exemples simple :
- les fonctions indicatrices d'un ensemble (qui valent 1 si x appartient à X et 0 sinon). La fonction que tu mentionne ci dessus est la fonction indicatrice des entier. La fonction indicatrice des rationnels est très amusante puisque si tu trace sa courbe représentative tu verras deux droites parrallèle, peu importe le zoom que tu utilise...
- la fonction x-> xsin(1/x) (et 0 en 0) qui oscille très vite au voisinage de 0, et est continue sans être dérivable
- des fonctions continue partout et dérivables nul part (https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ ... Un_exemple)

Plus compliqué : il existe une bijection de R dans R^2, c'est à dire une fonction
qui à tous réel x associe un unique couple (y1,y2) et, plus surprenant, qui à tout couple (y1,y2) associe un unique x. Cette notion de bijection est celle qui permet de parler de "même taille" d'infini (selon Cantor).
Et l'existence de cette fonction veut dire que R et R^2 sont de "même taille" (Z ou Q sont plus petit par contre, et 2^R est plus grand...).

Bien entendu on souhaite parfois (souvent) travailler avec des fonctions plus agréables.
On va alors considérer des fonctions qui ont plus de structures, plus de propriétés : fonctions
continue, dérivables, holomorphe, semi-algébrique, polynomiale, affine...

Mais à partir du moment où tu explicite comment, à partir de x, tu obtiens un (unique) y,
alors tu as défini une fonction (aux ensemble de départ et d'arrivée près).
Et je t'assure que tous mathématicien (ou tout étudiant en science) passe son temps à définir des fonctions, utile pour son problème, qu'il oublieras bien vite ensuite.

[tournesol]

Bonsoir Lazare
Je te réponds non , mais tu pourra facilement comprendre à l'aide d'exemples , y compris ceux que tu te créeras toi même.
Il est facile de montrer que si E est de cardinal n , alors P(E) est de cardinal 2^n
Sur un exemple:
E={1;2;3} P(E)={vide, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Pour constituer une partie de E , il suffit de dire pour chaque élément de E si il appartient ou pas à la partie .
On a deux possibilités pour le 1 .
Indépendamment , il y a deux possibilités pour le 2 .
Indépendamment des deux choix précédents , il y a deux possibilités pour le 3 .
L'indépendance fait qu'on peut constituer 2X2X2=2^3=8 parties de E
Ceci se généralise sans difficultés à tout entier naturel n .
Donc dans le cas fini , il y a plus d'éléments dans P(E) que dans E .
Mais dans le cas infini aussi , sauf que l'on ne peut pas faire la même démonstration .
Il te faudra comprendre le principe de l'autre démo à l'aide d'exemples simples.
Essayons de mettre en correspondance les éléments de E avec ceux de P(E) en partant de E .
Par exemple :1avec {1,3} , 2 avec {3} et 3 avec vide
Tu liste ensuite les éléments de E qui ne sont pas dans leur partie correspondante.(1)
On l'appelera la blacklist .
Tu obtiens la liste {2,3} . Cette partie de E est l'une des 5 parties non utilisée dans la correspondance .
Tu peux essayer sur d'autres exemples de correspondances, ce sera toujours le cas .
POURQUOI ?
Si on avait : a avec blacklist on devrait pouvoir dire si a est blacklisté ou pas
S'il n'est pas dans la blacklist , il vérifie (1) et donc il est dans la blacklist.
S'il est dans la blacklist , il ne vérifie pas(1) et donc il n'est pas dans la blacklist.
Donc a ne peut pas exister .
On ne peut donc jamais mettre en correspondance les éléments de E avec ceux de P(E) en partant de E et ce , QUE E SOIT FINI OU PAS
Il y a donc plus d'éléments dans P(E) que dans E

[GaBuZoMeu]

Tournesol voulait écrire "plus d'éléments dans P(E) que dans E", bien sûr

[tournesol]

Bonsoir et merci pour ta confiance , GaBuZoMeu .

[Sylviel]

Ok Sylviel. Chacun est libre de définir les limites qu'il s'impose.

Tu peux définir ou redéfinir les termes que tu veux.
Mais si tu veux te faire comprendre des autres il faut employer un vocabulaire commun.

Tu peux décider de n'appeler "rectangle" que les rectangles qui ont les côtés de même longueur.
Mais si tu souhaites que quelqu'un d'autres que toi te comprenne tu ferais mieux d'utiliser le terme "carré".

Le terme "fonction" a un sens précis, communément employé par l'ensemble de la communauté scientifique (avec une toute petite ambiguité que je laisse de côté ici). Si tu veux te "donner des limites" c'est que tu ne parles plus des fonctions en général, mais seulement d'une classe particulière de fonction.

C'est très bien, et très courant, de travailler avec une classe de fonction particulière. Mais ne vas pas dire que ce sont les seules qui ont le droit de s'appeler fonction. Sinon tu vas finir comme certain qui aiment réinventer tous le vocabulaire scientifique à eux tout seul...

[tournesol]

Rassures toi quand même , lazare .
Henri Poincaré , qui soit dit en passant a réussi à construire une bijection entre un point et un carré , considérait ces fonctions( continues partout mais dérivables nulle part,etc.) comme des fontions pathologiques qui devraient être reléguées au musée des horreurs...

[azf]

Poincaré Lazare (sans t et sans double r )