Suite recurrente
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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kadaid
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par kadaid » 03 Fév 2022, 12:34
Bonjour,
Suite (Un) definie par : U(n+1)=Un*exp(-Un) et Uo=1
Démontrer par récurrence que :
1°)
a) 0<= Un <=1
b) (Un) est décroissante et minorée.
2°) Calculer sa limite
Réponses :
1°) a)
Initialisation : U1=exp(-1) < 1, U1<Uo, donc vrai.
Supposons 0<= Un <=1 pour n fixé.
0>= Un*exp(-Un) >= exp(-un)>=1 car exp(-x) décroissante sur [0;1]
0>= U(n+1) >=1 , U(n+1) négatif ça colle pas.
Merci pour une piste.
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phyelec
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par phyelec » 03 Fév 2022, 16:51
Bonjour,
comme exp(-x) continue et décroissante sur [0;1], le maximum est pour 0 soit 1 donc pour tout x appartenant [0;1], exp(-x) <=1
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kadaid
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par kadaid » 03 Fév 2022, 17:34
Merci pour ta réponse.
Mais je multiplie l'inégalité 0<= Un <=1 par exp(-x) qui décroissante, je change le sens de l'inégalité et j'obtiens:
0>= Un*exp(-Un) >= exp(-un)>=1, ( 0 >= 1 c'est faux ).
A moins que mon raisonnement n'est pas correcte.
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phyelec
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par phyelec » 03 Fév 2022, 18:07
exp(-Un)<= 1 car Un est <=1 hypothèse de récurrence ( 0<= Un <=1 donc Un appartient [0,1]), Un c'est le x de exp(-x)
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kadaid
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par kadaid » 04 Fév 2022, 13:28
Un c'est le x de exp(-x)
Oui, je sais.
hypothèse de récurrence: 0<= Un <=1
exp(-Un)<= 1
et après, comment démontrer que 0<= U(n+1) <=1 ? Il faut bien multiplier l'inégalité 0<= Un <=1 par exp(-Un) ?
Non ?
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kadaid
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par kadaid » 04 Fév 2022, 17:39
Je me suis rendu compte de mon problème qui est le suivant:
J'ai mélangé dans ma tête, la multiplication par exp(-Un) et l'application de la fonction exp(-x) qui est décroissante, à l'inégalité 0<Un<1.
Je suis étonné de ce mélange.
En multipliant l'inégalité par exp(-Un) qui positif:
0<= Un*exp(-Un) <=1, donc 0<U(n+1)<1
Je finirai le reste apès.
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kadaid
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par kadaid » 06 Fév 2022, 19:41
Je fini mon exercice.
b) (Un) est décroissante et minorée.
Supposons que 0<Un<U(n+1)<1
J'applique la fonction exp(-x) décroissante sue [0;1]
1>Un*exp(-Un)>exp(U(n+1))>exp(U(n+1)>exp(-1)
1>U(n+1)>U(n+2)>exp(-1) la suite (Un) est décroissante et minorer par exp(-1)
2°) Calculer sa limite
D'après le théorème du point fixe, la limite l est solution de l'équation:
l=l*exp(-l)
exp(-l)=1
l=0
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 06 Fév 2022, 22:38
kadaid a écrit:2°) Calculer sa limite
D'après le théorème du point fixe, la limite l est solution de l'équation:
l=l*exp(-l)
exp(-l)=1
l=0
Non
Tu ne peux diviser par l que si l est non nul
l=l*exp(-l)
l(1-exp(-l))=0 donc l=0 ou 1-exp(-l)=0
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kadaid
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par kadaid » 07 Fév 2022, 13:10
Oui tu as raison, il faut toujours privilégier la factorisation pour avoir toutes les solutions.
1-exp(-l)=0 équivaut à l=0
Finalement l=0, c'est bien ça ?
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 07 Fév 2022, 20:16
Finalement l=0 oui
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kadaid
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par kadaid » 07 Fév 2022, 20:26
Merci pour tout.
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