Question min

[abraha11]

Bonjour
Peut-on affirmer que: min(A(x)+B(y)) =min (A(x)) +min(B(y)) ou A(x) et B(y) deux fonctions a valeurs dans R+

[tournesol]

Tu demandes si inf(im(A)+im(B))=inf(im(A))+inf(im(B))
La réponse est oui et découle du résultat général suivant:
Soient X et Y des parties minorées de R .
Alors inf(X+Y)=inf(X)+inf(Y)
Soient x et y des éléments respectifs de X et de Y .
On a et
Donc
inf(x)+inf(Y) est donc un minorant de X+Y
Donc
On a également
Donc . inf(X+Y)-xest donc un minorant de Y .
Donc
On en déduit que ce qui entraine que
CQFD .