Bonjour,
j'ai (re)découvert une distance définie sur les entiers naturels privés de zéro.
Soient a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.
On pose (*)
où ln() est le logarithme néperien et pgcd() le plus grand diviseur commun à a et à b.
a et b étant deux entiers naturels non nuls , a et b s'écrivent a'd et b'd où d est leur pgcd et a' et b' sont deux entiers premiers entre eux.
a' et b' est ce qui différentie (discrimine) les entiers a et b. d'où l'idée qu'une fonction de a' et b' puisse être une distance entre a et b.
Propriété: d(a,b) vérifie l'inégalité triangulaire.
Soient deux entiers a,b non nuls.
Il existe un entier n , des nombres premiers et des exposants entiers tels que
on peut supposer que a et b se factorisent avec les mêmes nombres premiers en
considérant des exposants nuls.
On en déduit que d(a,b) vérifie l'inégalité triangulaire.
c étant un naturel non nul quelconque.
Propriété: soient a,b,k des entiers non nuls.
d(ka,kb)=d(a,b)