Suite nombre complexe
Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
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lunartiste
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par lunartiste » 26 Jan 2022, 00:41
Bonsoir j'aurais besoin d'aide sur un exercice :
On considère la suite (z_{n}) de nombres complexes définie par :
z_{0} = 2
z_{n+1} = ( sqrt 3/2 - i/2 )z n
1. Calculer z_{1}, z_{2} , z_{3} et z_{4} sous forme algébrique.
2. En Python, complex(a, b) désigne le nombre complexe a + ib et abs(z) désigne le module du nombre complexe z. On considère le programme ci-dessous:
from math import sqrt
def suite(n):
z = complex (2, 0)
for k in range (1, n + 1) :
z = z * complex (sqrt(3) / 2, - 1/2)
r = abs(x)
return r
a. Expliquer ce que renvoie la fonction suite.
b. Voici quelques résultats de la fonction suite :
>>> suite(1)
2.0
>>> suite(3)
1.9999999999996
>>>suite(8)
1.999999999999
Que peut-on conjecturer ?
c. Démontrer ou invalider la conjecture précédente.
3. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a:
arg * (z_{n}) = - (n*pi)/6 * (2pi)
4. Démontrer que pour tout entier naturel k, z_{6k+3} est un imaginaire pur.
Je pense avoir réussi les premières questions mais dès qu'il faut démontrer je ne sais pas comment m'y prendre : à partir de la question 2)c.
Merci d'avance.
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lunartiste le 26 Jan 2022, 12:24, modifié 1 fois.
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fatal_error
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par fatal_error » 26 Jan 2022, 10:00
hi lunartiste
tu as les balises [code][ /code] pour préserver l'indentation de ton code
Par ailleurs la def de ta suite est étrange. 2^x (où est défini x et est-on sûr du symbole ^ ?)
mis à part, on remarque que
du coup tu devrais pouvoir exprimer le terme général de la suite (z_n) (plutot qu'utiliser la def par récurrence)
edit: je laisse volontairement ma boulette (non volontaire) telle qu'observée par lyceen95.
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lyceen95
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par lyceen95 » 26 Jan 2022, 11:07
, ce n'est pas
Il y a un problème de signe.
Mais trouver
tel que
, c'est effectivement une valeur très courante, qu'on trouve en dessinant un cercle trigonométrique.
Edit : corrigé suite à la remarque de Fatal-Error
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lyceen95 le 26 Jan 2022, 14:45, modifié 1 fois.
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fatal_error
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par fatal_error » 26 Jan 2022, 11:43
@lyceen95 il manque un i dans ton exp(ression).
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lunartiste
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par lunartiste » 26 Jan 2022, 12:23
Oui excusez moi je suis pas douée avec l'éditeur d'équation, c'est donc : e^(-iπ/6).
Le formule explicite est donc : 2exp(-inπ/6)
Donc c'est ok pour la question 2)c et 3), maintenant pour la 4) :
pour que ce soit un imaginaire pur, son argument doit valoir π/2 [π].
Donc -nπ/6=π/2 [π]
Les solutions s'écrivent donc avec k ∈ N, n=6k+3
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