Toute fonction sous additive est uniformément continue

[chombier]

Bonjour à tous,
En voulant prouver que la fonction racine carrée, est uniformément continue, je me suis rendu compte que j'avais uniquement utilisé sa propriété de sous-additivité :

.

En effet, si , en posant ,


Par symétrie,

Ainsi, si ,

Ce qui prouve la continuité uniforme de la racine carrée.

Comme je n'ai utilisé que la sous-additivité, j'ai envie de croire que toute fonction numérique définie sur un intervalle et sous-additive sur ce même intervalle est uniformément continue.

Ca se tiens ? Merci d'avance

[tournesol]

Bien vu
tu te demandes si toute fonction f concave est uniformement continue .
-f est convexe et donc continue et dérivable a droite et à gauche , donc idem concave .
Mais est sous additive sur mais n'est pas uniformement continue .

[tournesol]

j'ai du faire une confusion entre sous additive et concave mais mon contre exemple tient toujours .

[pascal16]

"par symétrie" : surtout pas avec un signe "-", et tu écrirais qu'une racine est négative

tu as x et y qui ont un rôle symétrique au départ, tu as le droit de poser x<y

[chombier]

@pascal16 :
J'ai montré que si , alors
cela me permet d'affirmer, par symétrie, que
si , alors

Il y avait bien une grosse erreur.

@tournesol
f(x)=-x^2 n'est pas sous-additive

avec a=-1 et b=3
f(a+b) = f(-1+3) = f(2) = -4
f(a)+f(b) = f(-1)+f(3) = -1-9 = -10

f(a+b) > f(a)+f(b)

Pour le reste, je vais chercher encore un peu, demain.

[chombier]

Je vais reformuler, mais j'ai besoin d'une autre propriété :

Soit f une fonction définie sur , croissante et sous-additive.
On suppose de plus que est atteint (tous les éléments de ont un antécédent)
Alors f est unformément continue.

(Ca fait beaucoup de conditions finalement !!)

Preuve : Soient x et y deux réels positifs ou nuls.

donc

Par symétrie,

Ainsi,

Soient maintenant x, y et epsilon trois réels positifs.
Par hypothèse, il existe un réel tel que

Si ,