Démonstration

[Hannaut]

Bonjour,

Je commence par donner une définition :
Soit I un sous-ensemble de R.
I est un intervalle de R si :
Je dois montrer que l'intersection de deux intervalles de R est un intervalle de R. J'ai bien réussi.
Je dois aussi montrer que la réunion de deux intervalles de R (quand ces derniers sont non disjoints) est un intervalle de R.

Je considère I et J deux intervalles non disjoints de R, x et y deux éléments de tels que .
Comment puis-je utiliser l'hypothèse que I et J ne sont pas disjoints ?

[tournesol]

si x et y sont dans I , pas de pb .
si x et y sont dans j , pas de pb .
si x est dans I et si y est dans J sans appartenir à I , alors on a x<=a<=y , pourquoi ,? continues
si x est dans J et si y est dans I sans appartenir à J , alors on a encore ....

[Hannaut]

Merci, j'essaie de rédiger ça !

[Hannaut]

Peux-tu me dire qui est "a" dans ce que tu as écris ?

[lyceen95]

I et J ne sont pas disjoints. Donc il existe au moins un réel a qui est à la fois dans I et dans J.

[Hannaut]

Sur un dessin, il est clair que x<=a<=y, mais je ne vois pas comment le justifier.
J'ai pensé à la borne supérieure mais ça n'aboutit pas.

[Hannaut]

Il y a un truc qui ne va pas, il est possible que a <= x après tout puisque x peut être aussi dans J. Tu as exclu le cas où y est dans I mais reste dans J.

[lyceen95]

Tournesol a donné une indication, il n'a pas rédigé toute la solution de l'exercice.
En effet.

[Hannaut]

D'accord.
Dans ce cas, il faut une disjonction de cas plus stricte.
1) x et y sont dans I, dans ce cas [x,y] inclus dans I qui lui-même inclus dans I u J.
2) x et y sont dans J, dans ce cas [x,y] inclus dans J qui lui-même inclus dans I u J.
3) x et y dans I n J (possible car I et J sont non disjoints), dans ce cas, ils sont en particulier dans I.
4) x et dans I mais pas dans J et y est dans J mais pas dans I, c'est ce cas là que je bloque.
5) x et dans J mais pas dans I et y est dans I mais pas dans J.

[Hannaut]

Du coup je reprends le raisonnement de @tournesol.
x dans I mais pas dans J et y est dans J mais pas dans I.
I et J sont non disjoints : il existe un élément a dans I n J.
Maintenant, il s'agit de montrer que x <= a <= y.

[tournesol]

EUREKA !
soit a dans
si , alors [a,y] est inclus dans un des intervalle qui contienent y , disons L (I ou J ou les deux)
or [x,y] est inclus dans [a,y] . Donc [x,y] est inclus dans L , et donc dans I U J .
si , alors [x,a] est inclus dans un des intervalles qui contiennent x , et donc dans I U J .
[a,y] est inclus dans l'un des intervalles qui contiennent y , et donc dans I U J .
Donc [x,y] est inclus dans I U J .
Si , alors même rédac que dans le premier cas .

[Hannaut]

D'accord @tournesol et merci de ta patience ! Je rédige maintenant tout ça à ma façon.