Calcul sur un triangle avec un côté en arc de cercle

[NinjaKoopa]

Bonjour,

J'aimerai savoir s'il y a une méthode pour calculer le segment BD de ce triangle ACE avec un arc de cercle?

[Black Jack]

Bonjour,

Il y a des cotes redondantes ... mais pas exactement compatibles.

Il faudrait commencer par remettre cela d'aplomb.

Par exemple, si les angles de 64° et 26° sont justes, alors les cotes AE = 1960 et EC = 946 ne sont pas très précises.

En effet, on a : CE = AE.tan(EAC)

et donc si AE = 946 et angle(EAC) = 64°, alors on calcule CE = 946 * tan(64°) = 1939,6 ... et pas 1960.

Mais si ce sont les cotes 1960 et 946 qui sont correctes, alors ce sont les mesures angles indiqués qui sont fausses (ou du moins assez imprécises)
*******

A part cela, on peut calculer le rayon R du cercle : c = 2.sqrt(2fR - f²) (avec f la flèche et c la corde)

On aurait : 2176 = 2.sqrt(2*138R - 138²) --> R = 4357,93 (arrondi)

Et en appelant alpha l'angle au centre du cercle sous-tendant la corde AC, on aurait : c = 2R*sin(alpha/2) -->

2176 = 2 * 4357,93 * sin(alpha/2) ---> alpha = 0,504658 rad (arrondi)

Et on peut avec ces résultats recalculer l'arc AC par : arc(AC) = alpha * R = 0,504658 * 4357,93 = 2199,3 (qui colle à rien près à la cote 2200 du dessin)
*******

A partir de là (et avec les corrections demandées sur les cotes), il est possible de continuer à calculer et déterminer ce qui est demandé.

Pas trop de courage de faire ces calculs assez faciles ... mais longs.

[mathelot]

Bonsoir,
il faudrait d'abord rétablir le théorème de Pythagore car d'après le schéma,

au lieu de zéro

je propose de recalculer le tout en prenant comme hypothèses:
°; °

De plus, j'ai bien calculé R et - je ne trouve pas les mêmes valeurs - mais je suis curieux de voir la suite des calculs.

calculs


d'où



radians



recalcul des cotes:
°
°

ce qui donne l'égalité de Pythagore à près.

[Black Jack]

Bonsoir,
il faudrait d'abord rétablir le théorème de Pythagore car d'après le schéma,

au lieu de zéro

je propose de recalculer le tout en prenant comme hypothèses:
°; °

De plus, j'ai bien calculé R et - je ne trouve pas les mêmes valeurs - mais je suis curieux de voir la suite des calculs.

calculs


d'où



radians



recalcul des cotes:
°
°

ce qui donne l'égalité de Pythagore à près.

Bonjour,

C'est bizarre que tu t'étonnes de résultats différents alors que le dessin comporte des cotes redondantes ... et non compatibles.

J'ai utilisé la flèche indiquée de 138 et la corde de 2176 pour calculer le rayon et en déduire l'angle au centre.
... et en recalculant l'arc à partir des réponses, on trouve un écart de 0,03% par rapport à la mesure indiquée de l'arc (donc petit décalage)

Toi tu n'utilises pas la flèche mais bien les longueurs de la corde et de l'arc pour calculer R et alpha.
... Mais si à partir de tes réponses (R et alpha) on recalcules la corde, on a :

f = 2R.sin²(alpha/4)

f = 2*4292,490288 * sin²(0,512523/4)
f = 140,17...

Soit une erreur de 1,6 % environ.

Tout cela, c'est normal ... c'est clairement du au dessin qui comporte des indications redondantes et non strictement compatibles et donc en fonction des indications choisies pour calculer ... on a des différences.

[mathelot]

re,

je suis intéressé par le calcul de BD, peux tu expliquer comment faire ?

[Black Jack]

re,

je suis intéressé par le calcul de BD, peux tu expliquer comment faire ?

Salut,

Pas le courage de faire les calculs, surtout à partir des données redondantes et incompatibles mais une marche à suivre pourrait être :

En ayant calculé R et connaissant la flèche, on peut situer le centre du cercle (sur la médiatrice de AC à la distance R-f de(AC))

On choisit alors un repère orthonormé avec l'origine au centre du cercle, l'axe des abscisses // à (AC) et l'axe des ordonnées étant la médiatrice de [AC]

On peut alors facilement trouver les coordonnées de A et de C et déterminer assez simplement les coordonnées de E.

Connaissant les coordonnées de A et de E, on peut calculer celles du point D (soit par règles de 3, soit par relation vectorielle entre les vect AD et AE ...)

On a alors les coordonnées de D et connaissant le coeff angulaire de (AE) ... puisqu'on connait les coordonnées de A et de E), on peut écrire l'équation de la perpendiculaire à (AE) passant par D

... c'est l'équation de (BD)

L'équation du cercle est : x² + y² = R² (avec R connu)

On résout le système formé par les équations de (BD) et du cercle ... et on trouve les coordonnées du point B.

On a donc alors les coordonnées des points D et B ... et on peut donc calculer la longueur |BD|
*********

Normalement, aucune difficulté majeure, mais calculs un peu longs.

C'est une approche analytique souvent non appréciée des matheux, mais je n'en fais pas partie.

Rien relu.

[lyceen95]

Quand on a des informations redondantes, il faut se débrouiller pour choisir celles qui a priori sont les plus fiables.
Quand le type écrit 946 cm, il dit que la longueur est entre 945.5 et 946.5 ; en pourcentage, on est à 1/946 d'amplitude, environ 1 millième.
Quand il écrit 26°, sans aucune décimale, on doit comprendre entre 25,5° et 26.5° ; l'amplitude est grande.
Pareil pour 64°, seulement 2 chiffres significatifs ; on ne va pas utiliser ces 2 mesures, si on a la possibilité de s'en passer.
On a un angle droit. Celui là, même s'il n'est pas symbolisé sur le dessin, on va dire que c'est la mesure la plus fiable.
On garde 2 mesures parmi 2176, 960 et 1960. Toutes ces mesures ont des précisions au millième environ.
On va même garder les 2 plus grandes, 2176 et 1960, et recalculer le 3ème côté du triangle, par Pythagore.

Et bien sûr, pas le choix, on va utiliser le 1165.
Reste le problème de l'arc arrondi. On peut utiliser le 138 ... mais peu précis, 1% d'erreur, et en plus on a quand même un peu de mal à bien visualiser ce qui est mesuré via ce 138 . On se dit que ce segment de longueur 138 fait certainement un angle droit avec AC, mais sur le dessin, on est très loin d'un angle droit.
Ou alors on utilise le 2200.
2200 semble plus fiable, déjà parce que 4 chiffres significatifs au lieu de 3. et en plus parce qu'il n'y a aucune ambiguïté sur ce qui est mesuré.

Ensuite, faut poser les équations.
Là, si on veut faire le job rigoureusement, j'ai besoin de quelques heures. Ca me paraît compliqué.

Si on veut juste un truc à 1 ou 2 cm près, (on est parti pour ça vu le contexte de l'exercice), on peut procéder ainsi :
BD coupe AC en un point H
DH est très facile à calculer. DH= (1960-1165)*946/1960
BH est l'hypothénuse d'un triangle rectangle, dont les 3 angles sont (env. 26°, env 64°, 90°) , et dont la base mesure un peu moins que 138 , disons 135, ou peut-être 125. En gros entre 125 et 135.
On peut calculer son hypothénuse : BH entre 125*2176/1960 et 135*2176/1960.

BD est donc entre (1960-1165)*946/1960+125*2176/1960 et (1960-1165)*946/1960+135*2176/1960

Pas de pot, je disais qu'on préfère utiliser le 2200, plus fiable que le 138 pour évaluer la courbure de l'arc de cercle. Mais les équations qui permettraient d'utiliser le 2200 sont compliquées , alors que faire des approximations à partir du 138, c'est plus facile.

C'est la réponse 'fainéant'. S'il faut une réponse plus rigoureuse, je passe la main.

[mathelot]

Merci, Black Jack

[Black Jack]

Quand on a des informations redondantes, il faut se débrouiller pour choisir celles qui a priori sont les plus fiables.
Quand le type écrit 946 cm, il dit que la longueur est entre 945.5 et 946.5 ; en pourcentage, on est à 1/946 d'amplitude, environ 1 millième.
Quand il écrit 26°, sans aucune décimale, on doit comprendre entre 25,5° et 26.5° ; l'amplitude est grande.
Pareil pour 64°, seulement 2 chiffres significatifs ; on ne va pas utiliser ces 2 mesures, si on a la possibilité de s'en passer.
On a un angle droit. Celui là, même s'il n'est pas symbolisé sur le dessin, on va dire que c'est la mesure la plus fiable.
On garde 2 mesures parmi 2176, 960 et 1960. Toutes ces mesures ont des précisions au millième environ.
On va même garder les 2 plus grandes, 2176 et 1960, et recalculer le 3ème côté du triangle, par Pythagore.

Et bien sûr, pas le choix, on va utiliser le 1165.
Reste le problème de l'arc arrondi. On peut utiliser le 138 ... mais peu précis, 1% d'erreur, et en plus on a quand même un peu de mal à bien visualiser ce qui est mesuré via ce 138 . On se dit que ce segment de longueur 138 fait certainement un angle droit avec AC, mais sur le dessin, on est très loin d'un angle droit.
Ou alors on utilise le 2200.
2200 semble plus fiable, déjà parce que 4 chiffres significatifs au lieu de 3. et en plus parce qu'il n'y a aucune ambiguïté sur ce qui est mesuré.

Ensuite, faut poser les équations.
Là, si on veut faire le job rigoureusement, j'ai besoin de quelques heures. Ca me paraît compliqué.

Si on veut juste un truc à 1 ou 2 cm près, (on est parti pour ça vu le contexte de l'exercice), on peut procéder ainsi :
BD coupe AC en un point H
DH est très facile à calculer. DH= (1960-1165)*946/1960
BH est l'hypothénuse d'un triangle rectangle, dont les 3 angles sont (env. 26°, env 64°, 90°) , et dont la base mesure un peu moins que 138 , disons 135, ou peut-être 125. En gros entre 125 et 135.
On peut calculer son hypothénuse : BH entre 125*2176/1960 et 135*2176/1960.

BD est donc entre (1960-1165)*946/1960+125*2176/1960 et (1960-1165)*946/1960+135*2176/1960

Pas de pot, je disais qu'on préfère utiliser le 2200, plus fiable que le 138 pour évaluer la courbure de l'arc de cercle. Mais les équations qui permettraient d'utiliser le 2200 sont compliquées , alors que faire des approximations à partir du 138, c'est plus facile.

C'est la réponse 'fainéant'. S'il faut une réponse plus rigoureuse, je passe la main.

Quand il y a des informations redondantes et non strictement compatibles ... en choisir certaines comme bonnes et ne pas utiliser les autres est tout à fait subjectif.
Il est presque toujours possible de faire une multitude de choix et leur trouver une soit-disant légitimité ...
sauf que cela ne rime à rien sans connaître le contexte dans lequel l'énoncé a été établi.

Le seule bonne approche est que l'auteur du problème n'indique que les données qu'il faut prendre en considération et qu'il juge pertinentes et laisse tomber les autres.

Et si certaines cotes ou mesures doivent être prises avec certaines tolérances, cela doit clairement être indiqué sur le plan.

Lorsque l'on donne par exemple, à la fois, une corde de cercle, la longueur de l'arc sous-tendu et la flèche (même si elle est un peu mal indiquée sur le dessin), on ne peut absolument pas préjuger quelle cote plutôt qu'une autre est à choisir (comme la plus pertinente) dans les calculs du rayon du cercle.
Si il y a une cote ou une mesure de trop, il faut la virer du plan (ou l'indiquer clairement comme étant donnée à titre indicatif).
Penser qu'on choisit la flèche au lieu de la mesure de l'arc parce que c'est plus facile (ce qui est d'ailleurs tout à fait faux) ne rime à rien du tout.
D'ailleurs, celui qui a fait un rien de mécanique saurait que si cela a été mesuré sur une pièce existante par exemple, il y a beaucoup plus de chance que la mesure de la flèche soit bien plus précise que celle de la longueur de l'arc.

Mais chacun pense ce qu'il veut.

[mathelot]

je me demande si les deux données les plus fiables ne sont pas R et car elles sont nécessaires pour le tracé de l'arc de cercle. Conséquence de quoi, les longueurs de côtés , les mesures d'angles et d'arc sont des résultats approchés arrondis.

[Black Jack]

je me demande si les deux données les plus fiables ne sont pas R et car elles permettent le tracé de l'arc de cercle. Conséquence de quoi, les longueurs de côtés , les mesures d'angles et d'arc sont des résultats approchés arrondis.

Oui mais ...

Si il s'agit, par exemple, d'une pièce existante sur laquelle on mesure ...
Les mesures accessibles avec des moyens usuels sont des longueurs sur la pièce (corde, flèche, à la rigueur la longueur de l'arc avec une ficelle non extensible), on peut aussi mesurer des angles (sur la pièce).
Mais on ne peut mesurer sur la pièce (sauf moyens sophistiqués) ni le rayon du cercle ni l'angle au centre qui sous-tend la corde.

On ne peut pas savoir quelles sont les mesures fiables sur lesquelles baser les calculs si l'auteur de la question ne le précise pas.

[catamat]

Bonjour

Etant encore plus fainéant j'ai fait avec Geogebra à partir des valeurs ayant le plus de chiffres significatifs comme l'a bien expliqué lyceen95.

Donc à partir de 2176, 1960 pour le triangle et 2200 pour l'arc.

Pour cela j'ai placé un point,le centre du cercle, sur la médiatrice de [AC] et je l'ai déplacé jusqu' à ce que le logiciel affiche 2200 (avec une précison de deux décimales) pour l'arc.

Comme on le voit sur la figure obtenue ci dessous la flèche mesure 140,16 et non 138.

Pour BD on obtient 536,49.

Bien sûr avec d'autres hypothèses de départ on obtiendrait d'autres valeurs.

https://www.cjoint.com/c/LAvpPY1ckqn

[NinjaKoopa]

Bonsoir,

Merci pour tous vos réponses , le but de mon post n'était pas forcément de trouver l'exact valeur de BD car je peux l'avoir avec le dessin (merci Autocad)

J'aurais du mettre des valeurs plus précises dés le départ pour éviter toutes confusions

Je pense que la méthode de lyceen95 me correspond le plus car je trouve un résultat quasi similaire (les côtes sont déjà en millimètres , et je ne suis pas 1 ou 2 millimètres prés).

j'essaierai aussi la méthode de Black Jack quand j'aurai Autocad sous la main, histoire de pouvoir me servir des coordonnées du logiciel, après je suis moins familier avec les calculs d'équations cités.

En fait la valeur DE changera souvent de 0 à 1960 (100,300,550...) ce qui changera la valeur BD. Donc je pense qu'un tableur excel va beaucoup m'aider.

Encore merci à tous

[mathelot]

re,
notations: On note O le centre du cercle et l'angle au centre qui soutient la corde .
Le point I désigne le milieu de [AC].
Le repère du plan est défini selon les indications de Black Jack.
colinéaire à

On pose
t=1165

formules:


La flèche f vaut:





remarque: la flèche f mesure 138.

d'autre part:












radians.



On sait que









coordonnées du point A






A(-1088,176916;4221,322464)

De même, les coordonnées du point C:



C(1088,176916;4221,322464)

Calcul de l'angle polaire du vecteur



radians.

Avec les angles (orientés) de vecteurs (positifs selon le sens anti-horaire):



d'où les coordonnées du vecteur:








Coordonnées du point E:






E(676.9772350; 3369.365409)

Coordonnées du point D:



d'où



D( - 372.2087782 ; 3875.758250)

Ensuite, on cherche un vecteur de coordonnées non nul orthogonal à

il vient:





m=2.071881605

Equation de la droite (BD):



y=2.071881605 x + 4646.930771

L'abscisse du point B, notée provisoirement X, vérifie l'équation du second degré suivante
(équation du cercle de centre O et de rayon R):





5.292693385 X^2 + 19255.78077 X+ 2590273.245=0

On pose les coefficients du trinôme:




X_B= - 139.8987710

puis:



Y_B=4357.077081


Calcul des coordonnées du vecteur :





(-232.3100072 ; -481.3188310)
d'où



BD=534.4490214

[NinjaKoopa]

Merci pour ces explication détaillées mathelot

[mathelot]

De rien,si ça peut aider sous excel..,j'ai simplement suivi les indications de Black Jack