Fonction logarithme

[anonymous84]

Bonjour, je suis bloqué sur un problème, il faut prouver que:

10^3log(x)+2 = 100x^3

Si quelqu'un peut m'aider,
Merci d'avance

[MaynaMilano]

Bonjour,
Quelle est la base du logarithme ?
Tu peux te servir de cette propriété du logarithme :

En d'autres termes :

Par propriété des puissances :

Donc :

On reprend l'équation de base :


Donc on a :
Après c'est relativement simple. Il te faut la base de ton logarithme (si ce n'est pas le logarithme népérien) car une des propriétés essentielles des log est :

On va juste montrer que le premier membre de l'équation est égal au second. Ou alors montrer directement :
Donc que
En espérant avoir pu aider un petit peu

[anonymous84]

Le problème c'est que nous n'avons pas vu toutes ces formules, j'avais trouvé une réponse mais je ne suis pas sure qu'elle marche. J'avais fait:

10^3log(x)+2 = 10 ^log(x^3)+log(100) = 10 ^log(100x^3)
10^log(100x^3)= log(10^100x^3) = 100x^3^log10 et 100x^3^log10 = 100x^3

Mais je ne suis pas sure que cela soit possible de déplacer les log de comme ça
Merci d'avance

[MaynaMilano]

La transformation effectuée dans la première ligne de calcul c'est :
?

[Rdvn]

Bonsoir
Je pense que anonymous84 voulait dire
10^(3log(x)+2)
dans ce cas la première étape est
10^(a+b)=10^a . 10^b
log désigne le logarithme décimal
A vous ...

[anonymous84]

Non c'est 10^(3\log (x)+2) = 10 ^(log (x^3) + log (100))

En fait tout le calcul est exposé en puissance

[MaynaMilano]

Merci pour l'éclairage.
Donc pour donner une piste si je ne m'abuse et Rdvn dites moi si je me trompe :

Or pour tout log de base b, la fonction réciproque est .
Donc effectivement le calcul est juste car

[MaynaMilano]

Suite : Or on a donc la démonstration par le produit est bonne Anonymous

[Rdvn]

Pourquoi y a-t-il à présent 3\log(x) ?
Absent de l'énoncé
Qui d'ailleurs signifierai quoi ?
De quoi parlez vous au juste ?
Mettez les parenthèses où il en faut
Avec le résultat attendu, mon énoncé convient ...

[Rdvn]

@MaynaMilano
oui mais ce sont des égalités, pas des équivalences
Mais anonymous84 avait modifié son énoncé
Donc
Avec mon énoncé, le résultat attendu, vos calculs mais avec =, on arrive à quelque chose de cohérent
Est ce OK ?

[anonymous84]

Désolé, c'est une erreur de frappe

En effet, la première étape est: 10^(a+b)=10^a . 10^b
Donc dites moi si je me trompe mais cela donne: 10^(3log(x)) X 10^2
Ensuite je dois faire quoi ?

[Rdvn]

Eh bien
10^2=100
et pour 10^(3log(x)) voyez la réponse de MaynaMilano (mettre = au lieu de <=>)
Que proposez vous ?

[mathelot]

bonsoir,
log() désigne le logarithme décimal.

on a


d'où


en effet, et sont des bijections réciproques l'une de l'autre , si bien que:

pour x>0
pour x réel

[anonymous84]

Donc 10^(3log(x) + 2) = 10^log(x^3) X 100
et 10^log(x^3) = x^3 donc x^3 X 100 = 100x^3

Est-ce bien juste ?

[mathelot]

oui, c'est juste.

[Rdvn]

@anonymous84
Votre dernière réponse est correcte (x>0 en énoncé, je présume)
C'est celle que j'attendais de votre part, après mon indication, conformément à la charte du forum.
Voilà qui est fait
Bonne soirée
@MaynaMilano
Voyez la différence entre = et <=>
Revenez sur le forum au besoin
Bonne soirée

[mathelot]

Par propriété des puissances :

cette égalité est fausse car désigne

[anonymous84]

Merci beaucoup à tous de m'avoir aidé !

[Jérôme]

@anonymous84
Il faut tout rentrer dans le log derrière la puissance de 10 afin de les "faire disparaître" : 10^log(X) =X car le log est "l'opération contraitre" de 10^.

[mathelot]

On parle de bijections réciproques