Transformée de fourier

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cocotier
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Transformée de fourier

par cocotier » 04 Jan 2022, 01:53

Bonjour,

Je bloque sur la transformée de fourier de f(x) = cos(πx/2)/(1+x^2)
J'applique la formule du cours : [Ff](k) = (1/√2π) ∫ f(x)exp(-ikx)dx
Je simplifie le cosinus avec sa formule exponentielle puis je bloque, je n'arrive pas à calculer l'intégrale
[Ff](k) = (1/2√2π) ∫ [(exp(π/2-ik)x)-(exp(-iπ/2-ik)x)dx]
Si quelqu'un a une idée ça m'aiderait beaucoup
Merci



phyelec
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Re: Transformée de fourier

par phyelec » 04 Jan 2022, 21:44

Bonjour,

je ne comprends pas comment vous trouvez [Ff](k) = (1/2√2π) ∫ [(exp(π/2-ik)x)-(exp(-iπ/2-ik)x)dx], où est passé le 1/(1+x^2)?

Quel calcul avez_fait? Pourriez-vous me le fournir?
Au passage f(x) est une fonction paire.

cocotier
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Re: Transformée de fourier

par cocotier » 05 Jan 2022, 17:29

Simple oubli, je trouve :
[Ff](k) = (1/2√2π) ∫ 1/(1+x^2) [(exp(iπ/2-ik)x)-(exp(-iπ/2-ik)x)dx]
Les étapes sont :
[Ff](k) = (1/√2π) ∫ f(x)exp(-ikx)dx avec f(x) = cos(πx/2)/(1+x^2)
Soit [Ff](k) = (1/√2π) ∫ cos(πx/2)/(1+x^2) exp(-ikx)dx
Or f(x) = cos(πx/2)/(1+x^2) = 1/(1+x^2) (exp(iπx/2)+exp(-iπx/2) 1/2
Et 1/(1+x^2) (exp(iπx/2)+exp(-iπx/2) 1/2 exp(-ikx) = 1/(1+x^2) [(exp(iπ/2-ik)x)-(exp(-iπ/2-ik)x)]
D'où [Ff](k) = (1/2√2π) ∫ 1/(1+x^2) [(exp(iπ/2-ik)x)-(exp(-iπ/2-ik)x)dx] (je sors le 1/2 de la formule d'euler de l'intégrale et l'intègre au (1/√2π) qui devient (1/2√2π)
En exploitant la parité de la fonction, je peux simplifier l'intégrale en la doublant et la calculer de 0 à l'infini plutôt que de - l'infini à l'infini, mais même comme ça je ne vois pas comment faire

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Ben314
Le Ben
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Re: Transformée de fourier

par Ben314 » 05 Jan 2022, 21:39

Salut,
Je sais faire le calcul en utilisant le théorème des résidus d'analyse complexe, mais, a froid, je sais pas comment faire sans . . .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

phyelec
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Re: Transformée de fourier

par phyelec » 05 Jan 2022, 23:40

je suis d'accord avec Ben314, la méthode des résidus fonctionne bien et est la plus rapide. On peut aussi je pense prendre la transformée de Laplace, puis une foids la solution trouvée faire un Laplace inverse, c'est plus long c'est tout.

cocotier
Messages: 4
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Re: Transformée de fourier

par cocotier » 16 Jan 2022, 22:21

Ok
Je ne connais pas le théorème des résidus, je vais regarder ça
Merci beaucoup

 

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