Bonjour,
On note le disque unité ouvert dans , les fonctions holomorphes et les fonctions polynomiales .
Je cherche à montrer que est dense dans pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Pour cela, on sait que si . En d'autres termes, si l'on pose , converge vers uniformément sur tout compact de .
J'ai donc tenté de poser , où, étant donnée , désigne "abusivement" la quantité (ce sup existe car sur ).
J'essaie ensuite de montrer que tend vers uniformément sur tout compact :
Soit un compact de et soit la norme "sup" sur .
.
On sait que quand .
Mais pour le second terme, j'ai un peu plus de mal à justifier la convergence vers 0, que je vois pourtant intuitivement...
On a
Ensuite, intuitivement, j'ai envie de dire que quand , mais je ne vois pas comment le justifier...
Voici ce que j'ai pour le moment :
Soit .
Par définition de la borne supérieure, il existe tel que .
Comme , il existe tel que, pour tout ,
ce qui implique
Il faut ensuite montrer "l'autre sens", à savoir que pour assez grand, on a aussi .
Et là, je suis bloqué...
Quelqu'un voit-il comment finir la preuve ?