Existence suite strictement croissance

[Ssbb]

Bonjour, j’ai lu lors d’une correction d’exercice que si l’on a une partie À dans N qui est infinie alors il existait une suite strictement croissance d’éléments de A.

Ma question est la suivante : est-ce vrai ? Si oui pourquoi ?

Merci d’avance pour votre réponse.

[mathelot]

Bonjour,
à bijection près, on peut supposer
la suite convient.

[Ssbb]

Bonjour,
à bijection près, on peut supposer
la suite convient.

En fait je prend un a dans R privé de Q et je dois montrer qu’il existe une suite (qn) dans N* strictement croissante tel que pr tt n dans N il existe une suite (pn) dans Z tel que |a-pn/qn| Inf ou égale à 1/qn^2.

J’ai vraiment du mal pour cette question, je sais qu’on raisonne par l’absurde mais la suite n’est pas claire

[tournesol]

je réponds à la première question .
J'utilise le fait que toute partie non vide de N possède un plus petit élément .
A0=A et U0=min(A0)
A1=A\{U0} et U1=min(A1)
A(n+1)=An\{Un} et U(n+1)=min(A(n+1))

[mathelot]

Toute partie non vide

[Ben314]

Salut,
Pour ton truc des pn/qn, le résultat classique, c'est le suivant :
Quel que soit le réel A et l'entier naturel non nul N, il existe un rationnel p/q avec 1<=q<=N et tel que |A-p/q|<1/(Nq)
Preuve :
On considère les N+1 parties fractionnaires de 0xA , 1×A , ... , N×A. Elles sont toutes dans l'intervalle [0,1 [ donc deux (disctinctes) d'entre elles sont distante de strictement moins de 1/N.
Il existe donc 0<=j2<j1<=N et deux entiers k1 et k2 tels que |(j1A-k1)-(j2A-k2)|<1/N.
On prend q=j1-j2 , p=k1-k2 , on divise par q et on a le résultat souhaité.
Ensuite on en déduit qu'on peut trouver des rationnels p/q avec q arbitrairement grand tel que |A-p/q|<1/q^2 ce qui montre ton truc.