Fonction continue non constante ???

[RoadToEngineering]

Bonjour,
Dans mon cours, un ensemble X est connexe <=> toute fonction continue de X dans 0,1 est constante.
Mais je ne comprends pas comment une fonction continue d'un ensemble X dans 0,1 peut être non constante, sans perdre sa continuité. Du moins je n'arrive pas à le visualiser.

[lyceen95]

Tu parles de {0,1} ou de [0,1] ?
Ou peut-être même ]0,1[ ...

[RoadToEngineering]

Bonsoir Lycéen95,
Je parle des deux entiers 0 et 1.

[lyceen95]

Prenons R* .... non connexe.
Prenons une fonction continue de R* vers {0,1} .
On arrive sans problème à construire une fonction continue non constante.

Par contre effectivement, si l'ensemble de départ est connexe, tu as raison, toute fonction continue est constante.

[RoadToEngineering]

Je vois mieux, merci lyceen95 !

[tournesol]

Il s'agit de {0;1} muni de la topologie discrète (il y a 4 topologies possibles sur {0;1} )
Si f est continue , alors et sont des ouverts disjoints de X de réunion égale à X .
Si X est connexe , l'un des deux est vide , est l'autre est X . Donc f est constante .
Pour la réciproque , il suffit de supposer X non connexe et de construire une fonction ............