Question équations fonctionnelles

[Seth]

Bonjour bonjour, j'ai un système d'équations fonctionnelles à résoudre et je coince :

Trouver toutes les fonctions continues de vérifiant





À un moment j'arrive à à l'aide de la première équation fonctionnelle (en remplaçant x par 0 ça donne et en faisant plusieurs manip avec les deux j'arrive aussi à . On voit bien que ne convient pas selon la première équation, et que ne convient pas pour la seconde (parce qu'on finit par avoir 0=8...). Je me demande donc si c'est normal d'avoir ça, que la ou les fonctions solutions peuvent très bien avoir des images et antécédents qui marchent pour une équation et non pour l'autre ; ou alors le fait que ça ne marche pas pour les deux montre que le système n'a aucune solution ?
(En réinjectant f(x) de la première équation dans la seconde je trouve aussi )

[mathelot]

Bonsoir,
C'est bizarre car f(x)=x^2 est solution évidente

C'est curieux de trouver f(0)=8,il doit y avoir une erreur

[Seth]

Effectivement, mais alors du coup ça veut dire que je me suis trompée dans mes calculs ?
Si à un moment je trouve f(a)=b mais qu'au final ça ne vérifie qu'une équation sur les deux.. ?

[Seth]

Pour f(0)=8 j'ai pris la seconde équation et remplacé x par 0, ce qui donne avec f(1)=5
Et f(1) je l'ai trouvé en cherchant plusieurs expressions avec f(1) et f(-1) dedans

[Ben314]

Salut,
Ta deuxieme équation permet de montrer que f(n)=n^2 pour tout entier relatif n.
La première te dit que f(x/2)=f(x)/4 pour tout réel x.
En combinant les deux, tu obtient que f(x)=x^2 pour tout x de la forme x=n/2^k avec n entier relatif et k entier naturel.
Or il est clair que les réels de cette forme sont denses dans R donc la continuite de f permet d'en déduire que f(x)=x^2 pour tout réel x.
Et réciproquement, il est bien clair que la fonction réelle x->x^2 vérifie tes deux hypothèses.

[Seth]

Comment tu arrives à conclure ça pour la première ? Que f(x/2)=f(x)/4 ?

[mathelot]

C'est simple,tous les résultats que tu trouves doivent être vérifiés par la fonction carré. Ainsi f(0)=8 est faux

[Seth]

C'est simple,tous les résultats que tu trouves doit être vérifiés par la fonction carré.

Oui la ou les fonctions trouvées doivent vérifier les deux équations, mais j'imagine que vous avez eu le réflexe de le voir de suite, or le réflexe de mon côté je ne l'ai pas

[tournesol]

La résolution de la deuxième donne : f(x)=g(x) +x^2 , avec g continue et 1 périodique .
Autre piste ?

[Seth]

La résolution de la deuxième donne : f(x)=g(x) +x^2 , avec g continue et 1 périodique .
Autre piste ?

Non merci c'est gentil j'aimerais trouver par moi-même, de plus ton indice ne m'aide pas vraiment ^^'

[Seth]

J'aimerais juste savoir comment Ben314 fait pour conclure à l'aide de la première équation que f(x/2)=f(x)/4 quelque soit x

[mathelot]

J'aimerais juste savoir comment Ben314 fait pour conclure à l'aide de la première équation que f(x/2)=f(x)/4 quelque soit x

L'égalité (1) donne
f(x)=f(r(2)x)/2

On remplace x par x/r(2)
f(x/r(2))=f(x)/2
puis on applique cette dernière égalité :
f(x/2)=f(x/r(2))/2=f(x)/4

Remarque r(2) = racine de 2

[Seth]

J'aimerais juste savoir comment Ben314 fait pour conclure à l'aide de la première équation que f(x/2)=f(x)/4 quelque soit x

L'égalité (1) donne
f(x)=f(r(2)x)/2

On remplace x par x/r(2)
f(x/r(2))=f(x)/2
puis on applique cette dernière égalité :
f(x/2)=f(x/r(2))/2=f(x)/4

Remarque r(2) = racine de 2

Je ne vois pas comment tu obtiens le f(x/2)
J'imagine que ce n'est pas un changement de variable parce que sinon on tourne en rond...

Avec f(x/r(2))=f(x)/2 on multiplie par 1/2 des deux côtés ça donne bien f(x/r(2))/2=f(x)/4 mais le f(x/2) j'ai l'impression que tu le marques parce que tu sais déjà que f(x)=x²

[mathelot]

x/2=(x/r(2))/r(2)

[Seth]

My bad c'est bon j'ai trouvé d'où il sort

[Seth]

Mais bon même en sachant ça je ne vois pas trop à quoi ça m'avance
En tout cas merci à vous trois pour votre aide, bonne soirée

[tournesol]

Résolvons la deuxième équation:
On note c la fonction carré , et D1 l'application qui à une fonction f fait correspondre D1(f) définie par D1(f)(x)=f(x+1)-f(x) .
La deuxième équation s'écrit : D1(f)(x)=2x+1
D1 étant linéaire , la solution générale est ker (D1)+ solution particulière , donc ker(D1)+c .
Il est clair que ker(D1) est l'ensemble des fonctions p , 1-périodiques .
Donc f =p+c , et f est continue ssi p est continue .
f vérifie la première équation , et donc pour tout x , f(2x)=4f(x)
On en déduit que p(2x)+4x^2=4(p(x)+x^2)=4p(x)+4x^2 . Donc que p(2x)=4p(x) .
Donc pour tout entier naturel n , et donc
Or une fonction périodique et continue sur R , est bornée sur R .
Un passage à la limite en n , pour x fixé , donne donc p(x)=0 .
Comme c'est vrai pour tout x , p est nulle et donc f=c .

On pouvait aussi montrer que p est périodique et en déduire(pas trivial) que le sous groupe des périodes de p est dense dans R .
Or il est facile de montrer que p(0)=0
Donc p est nulle sur un ensemble partout dense sur R , et comme p est continue sur R , elle est nulle sur R .

[Seth]

Tournesol merci beaucoup pour ton com je regarde ça ce soir