Paramétrisation de la bouteille de Klein

[MaximusvcUcl]

Bonjour à tous,

Afin de prouver que la bouteille de Klein n'est pas orietable, j'aimerais montrer que le determinant de la différentielle de la composée de deux de ces cartes est négatif. Le souci c'est que pour cela, j'ai besoin de trouver l'inverse de cette paramétrisation mais je ne la trouve nulle part... Pourriez-vous m'aider svp ??

Mercii

[tournesol]

A toi Maximus : mercii est-il le génitif de mercius , ou son nominatif pluriel ?

[LeJeu]

Bonsoir,

Tournesol, ce n'est pas cool de se moquer de Maximus, qui essaie de boire sans se noyer ,
alors qu'il pourrait se servir un verre en toute sécurité avec :



Maximus : si tu lis bien , la bouteille ne peut jamais se vider !

Le Jeu
ni se remplir ...

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas bien grand chose : tu parle de QUELLE paramétrisation de la bouteille de Klein ?
Et tu veut inverser quoi ? (Parce que "inverser une parametrisation", je vois pas bien ce que ça peut signifier . . .)

[MaximusvcUcl]

Salut,
Je comprend pas bien grand chose : tu parle de QUELLE paramétrisation de la bouteille de Klein ?
Et tu veut inverser quoi ? (Parce que "inverser une parametrisation", je vois pas bien ce que ça peut signifier . . .)

Eh bien si je ne dis pas de bêtises, on dit qu'une variété M est orientable lorsqu'il existe un atlas (compatible à la structure différentielle de M) tel que les jacobiens des changements de cartes sont positifs. Mais pour cela il me faut calculer l'inverse de ces cartes...

[Ben314]

Pour des varietees plongees dans R^n, si tu cherche à savoir si deux cartes de la même zone sont orientées de la même façon, tu n'a rien à "inverser" : tu prend les images des bases canoniques par les différentielles de tes deux paramétrisation et tu regarde si elles orientent l'espace tangent de la même façon : par exemple pour une surface plongée dans R^3, tu regarde si les vecteurs normaux issus des deux paramétrisation ont le même sens.

[MaximusvcUcl]

Si tu cherche à savoir si deux cartes de la même zone sont orientées de la même façon, tu n'a rien à "inverser" : tu prend les images des bases canoniques par les différentielles de tes deux paramétrisation et tu regarde si elles orientent l'espace tangent de la même façon.

Ah d'accord, j'avais mal compris la définition alors ...

D'ailleurs, comme tu as du le comprendre, j'ai pas mal de mal avec cette notion d'orientation. Beaucoup de mes exos me demandent de vérifier si une variété est orientable ou non mais je ne sais jamais par ou commencer. Aurait-tu une méthode pour répondre à ce genre d'exo ?

[Ben314]

C'est pas un probleme de mal comprendre la definition, le probleme c'est que la définition à laquelle tu te réfère est celle valable pour n'importe quelle variété, pas forcement plongée dans un e.v.n. Et dans le cas des variétés plongées, y'a pas mal de trucs qui se simplifient dans les définitions (en particulier la notion d'espace tangent est bien plus claire dans ce contexte que dans celui des variétés quelconques)
Et sinon, pour ce qui concerne le "comment faire" pour montrer qu'une variété est non oriéable, tout dépend de la façon dont ta variété est définie...

[MaximusvcUcl]

Imaginons qu'on te demande de montrer que la sphère est orientable, comment tu ferais ?

D'ailleurs tant qu'on est sur l'orientation de la sphère, l'exo suivant est de montrer que l'application p:S^2->S^2 et qui a (x,y,z) renvoie (x,-y,z) a un degré de -1. Pour cela j'aimerais montrer que la différentielle de p: TxS^2-> Tp(x)S^2 inverse l'orientation, mais la de nouveau je ne vois pas trop comment faire ....