Exercice fonction strictement positive TS

[Lmaths]

Bonjour,

Je ne suis pas sûre de la manière de résoudre un exercice, dont voilà la consigne :

"Condition 1 : f(0) = 1 et f(x)*f'(x) = 1. (pour tout x supérieur ou égal à 0)
On se propose de montrer qu'une fonction vérifiant la condition 1 est nécessairement strictement positive. Soit donc f une fonction qui vérifie la condition 1.
a) Montrer que f ne s'annule pas sur [0 ; + ∞[.
b) On suppose qu'il existe un réel a strictement positif tel que f(a)<0. Montrer que l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; a].
c) Conclure."

Alors du coup, voilà où je bute :

a) Je ne sais pas s'il faut utiliser les limites en 0+ et 0- ou s'il faut simplement dire que f ne s'annule pas car f(0)=1 et que 0 est la plus petite valeur de x (mais à ce moment-là il faudrait prouver que f est strictement croissante ?)

b) Je pense qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ? Ou son corollaire disant que si f est continue et strictement monotone sur [a;b] et si f(a)*f(b)<0 alors l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans cet intervalle ? Je suis un peu perdue.

c) La conclusion sera évidemment que f est strictement positive.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[Sa Majesté]

Supposons qu'il existe a positif tle que f(a)=0
Que peux-tu dire de f(a).f'(a) ?

[Lmaths]

Re- bonjour,

Si f(a) = 0 alors f(a)*f'(a) = 0 aussi et la condition n'est pas respectée. Il suffit juste de faire ça pour la a ?

[Sa Majesté]

D'après toi, est-ce suffisant ?

[Lmaths]

Eh bien, je pense que ça devrait suffire, mais peut-on juste répondre en donnant une supposition ? Tu as probablement raison mais je pensais qu'il aurait fallu faire une sorte de démonstration.

[Black Jack]

Eh bien, je pense que ça devrait suffire, mais peut-on juste répondre en donnant une supposition ? Tu as probablement raison mais je pensais qu'il aurait fallu faire une sorte de démonstration.

Bonjour,

Mais c'est est une de démonstration.
Cela s'appelle une démonstration par l'absurde.

[lyceen95]

Parfois , la démonstration tient en une ligne.

Si f(a)=0, alors f(a)*f'(a)=0, ce qui est en contradiction avec la contrainte f(a)*f'(a)=1.
f ne peut donc pas s'annuler sur son ensemble de définition.