DM Bézout et ses amis

[Albert De Monaco]

Bonjour,
j'ai un DM a rendre et je flanche sur une question... un peu d'aide serait la bienvenue


Un astronome observe A au jour J0
A apparait périodiquement tous les 105 jours
six jours après J0+6, il observe B
B apparait périodiquement tous les 81 jours

on appelle J1 le jour où il pourra observer A et B le meme jour (en fait on cherche a trouver J1 (pas trop dur me direz vous)

mais la question surlaquelle je flanche est la suivante

on note U et V le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre les jours J0 et J1, montrez alors que (U;V) est solution de

35x-27Y=2 (on cherche pas x et y on veut juste montrer que ce couple est solution non ?
mais je ne vois pas du tout mais pas du tout le rapport ...


merci

[Quidam]

mais je ne vois pas du tout mais pas du tout le rapport ...

A apparait périodiquement tous les 105 jours, donc en J0, J0+105, J0+2*105,...,J0+K*105,...
B apparait périodiquement tous les 81 jours, donc en J0+6, J0+6+81, J0+6+2*81...J0+6+L*81...
En J1, A et B sont là ! Donc il existe K et L tel que J1=J0+K*105=J0+6+L*81 !

Le problème est mal posé. Entre J0 et J1, A a fait exactement K révolutions. Mais entre J0 et J1 B a fait un peu plus que L révolutions : c'est entre J0+6 et J1 que B a fait exactement L révolutions.

On a donc :
J0+K*105=J0+6+L*81
K*105=6+L*81
K*3*35=3*2+L*3*27
K*35=2+L*27
D'où 35K-27L=2

Et maintenant, tu le vois le rapport ?

[Albert De Monaco]

oui ! je n'avais pas eu l'idée de simplifier par 3 ect pour trouver les bons nombres


merci