Une suite récurrente

[Sara1999]

Bonjour,
J’ai bien séché sur cette question, je vous prie de me donner quelques indications :
U_1= 3/2
U_(n+1)= 1+ n/U_(n)
Trouver n tel que 2021<=U_(n)< 2022
Merci d’avance.

[lyceen95]

Peux-tu préciser l'énoncé :

ou bien

Rigoureusement, c'est la1ère interprétation.
Mais pour que l'exercice soit 'accessible', je parie plutôt pour la 2ème écriture.

[Sara1999]

Plutôt la première écriture.
Merci d’avance.

[lyceen95]

En calculant les premiers termes, avec un tableur par exemple, on voit que la suite est strictement croissante, et que :
- le 1er terme supérieur à 3 arrive pour n=6=3*2
- le 1er terme supérieur à 4 arrive pour n=12=4*3
- le 1er terme supérieur à 5 arrive pour n=20=5*4
- le 1er terme supérieur à 6 arrive pour n=30=6*5
On peut donc conjecturer le comportement général. Ensuite, il faut le démontrer.

[Sara1999]

Alors il faut montrer que U(n(n+1))>n+1 pour tout n et ainsi U(2020. 2021)> 2021
Encore faut-il montrer aussi que U(2020.2021-1)> (2020.2021-1)/2021 pour que U(2020.2021)<2022 .
Sincèrement je ne vois toujours pas comment montrer tout ceci .

[tournesol]

on a probablement mais je ne l'ai pas démontré .

[tournesol]

on doit pouvoir montrer que puis utiliser cet encadrement pour répondre à ta question .

[Sa Majesté]

on doit pouvoir montrer que puis utiliser cet encadrement pour répondre à ta question .

Ne serait-ce pas plutôt ?

[lyceen95]

L'exercice n'est pas simple du tout.
Si on manipule les données dans tous les sens, on finit par trouver des choses.
On pressent que U(n) atteint un nombre cible k lorsque n atteint k*(k-1)

Si on calcule W(n) =U(n)*(U(n)-1) on constate qu'on a une suite qui a l'air de tendre vers n+0.5

Et on a une vague alternance. On pourrait s'intéresser aux 2 suites extraites : uniquement les termes d'indices pairs, et uniquement les termes d'indices impairs. Ces 2 suites sont plus 'régulières' que la suite d'origine.
Et on a envie de montrer que si W(n) est entre n+0.5-1/n et n+0.5, alors W(n+2) aussi

Dans quel contexte as-tu trouvé cet exercice, ça peut aider à trouver la solution 'idéale'.

[tournesol]

Oui je me suis trompé .

[Ben314]

Salut,
On peut montrer par recurence que, pour tout , .
Pour l'hérédité, il suffit de montrer que :
1) ce qui se vérifie facilement en retranchant 1 des deux côtés puis en multipliant les deux membres par .
2) ce qui est évident.

[Sara1999]

Moi aussi je viens de me rendre compte de l’erreur .

[Sara1999]

Merci Ben 314.
Effectivement on arrive facilement à montrer que racine(n)< u(n)< racine(n)+1
Maintenant pour répondre à la question posée: si 2021<=u(n)< 2022 alors racine(n)<2022 et racine(n)+1> 2021 donc 2020^2< n < 2022^2
Mais est ce que la réciproque est vraie? Car on va trouver que 2020<u(n)< 2023 .
Si n=2021^2, bien sûr 2021<u(n)< 2022.
Est ce alors l’unique valeur possible pour n ?

[Ben314]

Non, tres clairement ce n'est pas l'unique valeur : la suite croit à la même vitesse que racine(n) donc il y a un grand intervalle de valeurs de n pour lesquels Un est dans l'intervalle désiré. L'encadrement susmentionné permet de déterminer UN n qui marche et c'est tout. Mais d'un autre côté, l'énoncé tel qu'il est n'est pas clair du tout : faut il déterminer UN n qui marche ou bien TOUT les n qui marchent ?

[Ben314]

Je pense avoir bien mieux comme encadrement :
Si on suppose que alors (car ) puis donc pour que la recurrence fonctionne, il suffit de verifier que c'est à dire ce qui est vrai (pile poil !!!!)
Et comme l'inégalité supposée au depart est vraie pour n=1 et n=2, ça montre que, pour tout n, on a
Ce qui, cette fois, est extrêmement précis pour n grand.

[Sara1999]

Absolument vrai !!!
Très intéressant comme approche, merci beaucoup.

[catamat]

Bonjour

Juste une remarque
Le superbe encadrement trouvé par Ben permet de démontrer la conjecture de Lycéen95 qui disait en résumé :

C'est après n=p(p-1) que devient pour la première fois supérieur à p (p entier supérieur à 1)

Donc si n=p(p-1) on a <p et >p . On le démontre avec l'encadrement :

Soit n=p(p-1) on a c'est à dire

et ou

Donc devient supérieur à 2021 pour la première fois pour n=2020*2021+1
et il le reste jusqu'à n=2021*2022 soit 4041 termes de la suite.

[Ben314]

En fait, bien que persuadé que le comportement est le même pour n'importe quel U1>0 (a savoir que Un-racine(n) tend vers 1/2), je n'arrive pas à le montrer proprement.
On peut aussi généraliser en prenant
U(n+1)=2k+n/U(n) avec U(1)>0 fixé
où k est une constante >0 : je ne pense pas que ça change grand chose à une éventuelle preuve mais ça risque de rendre les choses plus claires.

[tournesol]

On peut au moins prouver facilement l'équivalence à en utilisant l'hérédité de ton premier encadrement :
Les termes successifs sont des fonctions homoraphiques de , qui sont donc faciles à borner .
On peut alors calculer que

[tournesol]

Bonjour Ben314
j'ai utilisé ton encadrement ici:
http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthr ... 9&id=61083