Une suite récurrente
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Sara1999
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par Sara1999 » 18 Déc 2021, 16:00
Bonjour,
J’ai bien séché sur cette question, je vous prie de me donner quelques indications :
U_1= 3/2
U_(n+1)= 1+ n/U_(n)
Trouver n tel que 2021<=U_(n)< 2022
Merci d’avance.
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lyceen95
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par lyceen95 » 18 Déc 2021, 16:35
Peux-tu préciser l'énoncé :
ou bien
Rigoureusement, c'est la1ère interprétation.
Mais pour que l'exercice soit 'accessible', je parie plutôt pour la 2ème écriture.
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Sara1999
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par Sara1999 » 18 Déc 2021, 17:31
Plutôt la première écriture.
Merci d’avance.
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lyceen95
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par lyceen95 » 18 Déc 2021, 19:11
En calculant les premiers termes, avec un tableur par exemple, on voit que la suite est strictement croissante, et que :
- le 1er terme supérieur à 3 arrive pour n=6=3*2
- le 1er terme supérieur à 4 arrive pour n=12=4*3
- le 1er terme supérieur à 5 arrive pour n=20=5*4
- le 1er terme supérieur à 6 arrive pour n=30=6*5
On peut donc conjecturer le comportement général. Ensuite, il faut le démontrer.
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Sara1999
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par Sara1999 » 18 Déc 2021, 20:27
Alors il faut montrer que U(n(n+1))>n+1 pour tout n et ainsi U(2020. 2021)> 2021
Encore faut-il montrer aussi que U(2020.2021-1)> (2020.2021-1)/2021 pour que U(2020.2021)<2022 .
Sincèrement je ne vois toujours pas comment montrer tout ceci .
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tournesol
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par tournesol » 18 Déc 2021, 20:38
on a probablement
mais je ne l'ai pas démontré .
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tournesol
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par tournesol » 18 Déc 2021, 21:27
on doit pouvoir montrer que
puis utiliser cet encadrement pour répondre à ta question .
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 18 Déc 2021, 21:31
tournesol a écrit:on doit pouvoir montrer que
puis utiliser cet encadrement pour répondre à ta question .
Ne serait-ce pas plutôt
?
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lyceen95
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par lyceen95 » 18 Déc 2021, 21:38
L'exercice n'est pas simple du tout.
Si on manipule les données dans tous les sens, on finit par trouver des choses.
On pressent que U(n) atteint un nombre cible k lorsque n atteint k*(k-1)
Si on calcule W(n) =U(n)*(U(n)-1) on constate qu'on a une suite qui a l'air de tendre vers n+0.5
Et on a une vague alternance. On pourrait s'intéresser aux 2 suites extraites : uniquement les termes d'indices pairs, et uniquement les termes d'indices impairs. Ces 2 suites sont plus 'régulières' que la suite d'origine.
Et on a envie de montrer que si W(n) est entre n+0.5-1/n et n+0.5, alors W(n+2) aussi
Dans quel contexte as-tu trouvé cet exercice, ça peut aider à trouver la solution 'idéale'.
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tournesol
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par tournesol » 18 Déc 2021, 22:04
Oui je me suis trompé .
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Ben314
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par Ben314 » 18 Déc 2021, 22:54
Salut,
On peut montrer par recurence que, pour tout
,
.
Pour l'hérédité, il suffit de montrer que :
1)
ce qui se vérifie facilement en retranchant 1 des deux côtés puis en multipliant les deux membres par
.
2)
ce qui est évident.
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Sara1999
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par Sara1999 » 18 Déc 2021, 22:58
Moi aussi je viens de me rendre compte de l’erreur .
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Sara1999
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par Sara1999 » 19 Déc 2021, 00:12
Merci Ben 314.
Effectivement on arrive facilement à montrer que racine(n)< u(n)< racine(n)+1
Maintenant pour répondre à la question posée: si 2021<=u(n)< 2022 alors racine(n)<2022 et racine(n)+1> 2021 donc 2020^2< n < 2022^2
Mais est ce que la réciproque est vraie? Car on va trouver que 2020<u(n)< 2023 .
Si n=2021^2, bien sûr 2021<u(n)< 2022.
Est ce alors l’unique valeur possible pour n ?
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Ben314
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par Ben314 » 19 Déc 2021, 15:14
Non, tres clairement ce n'est pas l'unique valeur : la suite croit à la même vitesse que racine(n) donc il y a un grand intervalle de valeurs de n pour lesquels Un est dans l'intervalle désiré. L'encadrement susmentionné permet de déterminer UN n qui marche et c'est tout. Mais d'un autre côté, l'énoncé tel qu'il est n'est pas clair du tout : faut il déterminer UN n qui marche ou bien TOUT les n qui marchent ?
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Ben314
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par Ben314 » 19 Déc 2021, 22:24
Je pense avoir bien mieux comme encadrement :
Si on suppose que
alors
(car
) puis
donc pour que la recurrence fonctionne, il suffit de verifier que
c'est à dire
ce qui est vrai (pile poil !!!!)
Et comme l'inégalité supposée au depart est vraie pour n=1 et n=2, ça montre que, pour tout n, on a
Ce qui, cette fois, est extrêmement précis pour n grand.
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Sara1999
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par Sara1999 » 20 Déc 2021, 00:49
Absolument vrai !!!
Très intéressant comme approche, merci beaucoup.
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catamat
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par catamat » 21 Déc 2021, 17:27
Bonjour
Juste une remarque
Le superbe encadrement trouvé par Ben permet de démontrer la conjecture de Lycéen95 qui disait en résumé :
C'est après n=p(p-1) que
devient pour la première fois supérieur à p (p entier supérieur à 1)
Donc si n=p(p-1) on a
<p et
>p . On le démontre avec l'encadrement :
Soit n=p(p-1) on a
c'est à dire
et
ou
Donc
devient supérieur à 2021 pour la première fois pour n=2020*2021+1
et il le reste jusqu'à n=2021*2022 soit 4041 termes de la suite.
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Ben314
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par Ben314 » 21 Déc 2021, 21:54
En fait, bien que persuadé que le comportement est le même pour n'importe quel U1>0 (a savoir que Un-racine(n) tend vers 1/2), je n'arrive pas à le montrer proprement.
On peut aussi généraliser en prenant
U(n+1)=2k+n/U(n) avec U(1)>0 fixé
où k est une constante >0 : je ne pense pas que ça change grand chose à une éventuelle preuve mais ça risque de rendre les choses plus claires.
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tournesol
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par tournesol » 21 Déc 2021, 23:51
On peut au moins prouver facilement l'équivalence à
en utilisant l'hérédité de ton premier encadrement :
Les termes successifs sont des fonctions homoraphiques de
, qui sont donc faciles à borner .
On peut alors calculer que
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tournesol
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par tournesol » 22 Déc 2021, 17:51
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