Bonjour
Je propose cette manière de présenter ce sujet "Forme linéaire en dimension finie et non nulle"
Je la propose à la lecture ici avec ses deux définitions et un exercice résolu avec une seule question
Sujet: Forme linéaire en dimension finie et non nulle
Prérequis : Matrice d'une application linéaire
Définitions
Soit un corps commutatif et on va noter et
un -espace vectoriel de dimension finie non nulle
On appelle forme linéaire une application linéaire
L'ensemble des formes linéaires sur
est appelé espace dual de et il est noté
Soit une base de
un vecteur de
On appelle base duale de la base de notée
telle que
La forme linéaire est appelée la projection de la -ième coordonnée par rapport à une base
Exercice
Montrer que si et sont deux bases de
alors la matrice de passage de la base duale vers la base duale
est la transposée de la matrice de passage de la base vers la base
Formellement
Solution
est un corps commutatif que l'on va munir de sa structure d'espace vectoriel induite
Dans le contexte de comme produit on notera la base canonique de
Soient et deux -espaces vectoriels de dimension finie et non nulle
resp. la dimension de resp.
une base de et une base de
une application linéaire
On rappelle ici que si est un vecteur de
est la matrice colonne des coordonnées du vecteur par rapport à
Formellement
et on rappelle aussi qu'on dit que est la matrice de dans le couple de bases ssi
Soit une base de
On rappelle que désigne la matrice de passage de la base vers la base
et on rappelle que pour tout vecteur de
et en notant l'application identité alors
La matrice de passage est cette matrice
et par conséquent
de sorte que la matrice de passage est la matrice des coordonnées de par rapport à
et qu'il en résulte que la -ième colonne de est la matrice colonne
des coordonnées du -ième vecteur de la base par rapport à la base
Par conséquent
Ici on va poser et la base canonique de alors
la matrice scalaire unité
où désigne l'ensemble des matrices lignes à colonnes et à coefficients dans
de sorte qu'on obtient
Par ailleurs et ici on a posé de sorte que
Comme
alors et donc avec la définition d'une forme linéaire
par conséquent et sont isomorphes bien que cependant il n'existe pas d'isomorphisme canonique
de dans dans le sens où si est quelconque,
il est nécessaire de se donner une base arbitraire afin de définir un isomorphisme le reliant à
Reprenons l'égalité précédente
avec ce qu'on vient de poser on obtient
On peut alors poser une matrice colonne telle que
par conséquent il existe un -espace vectoriel de dimension et une base de
et un vecteur de tels que
Comme cette matrice colonne est entièrement définie par et
On peut alors identifier à , à et à la base duale de
On a donc la combinaison linéaire
En considérant le symbole de Kronecker ssi et sinon
par conséquent
et de la même manière que pour toute forme linéaire et toute base on a
de la même manière pour la forme on a
Soit un vecteur de
on obtient donc alors
Soit une base de
et posons la famille de scalaires telle que
En considérant la matrice de passage de la base vers la base alors
En considérant la base duale de alors
Pour tout on va poser deux familles de scalaires
et telles que
Dans cette écriture on reconnaît le produit matriciel
de sorte que
de sorte que
À présent rappelons la formule
une forme linéaire sur
une base de
un vecteur de de sorte que
avec alors
Appliquons cela en revenant ici
avec alors
À présent rappelons la formule
Appliquons cela en revenant ici
alors on voit que sont les coordonnées de par rapport à
La -ième colonne de est la matrice colonne
et donc c'est aussi la -ième ligne de la matrice
de sorte que est identique à la transposée de
d'où l'égalité
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