Probleme de pyramide quadrilaterale .....

[philippemeunier]

bonjour à tous.
besoin d'aide pour ma fille, élève en classe de 4eme.

Voici l'intitulé :

"From a drawing sheet (180g) build a quadrilateral based pyramid SABCD of apex S.
We give the elements of the base :
BAD = 72° : ABC = ADC =126°
AB = AD = 5 cm
We also give :
SBA and SDA are isosceles triangles right angled at A and SC = 14 cm "

En temps normal, j'arrive à trouver des pistes sur internet, mais là je sèche.

Si quelqu'un peut nous aider, au moins à démarrer.
merci d'avance.
Philippe et Élisa

[lyceen95]

Dans un quadrilatère, la somme des 4 angles vaut ?
Ca permet de placer les 4 points de la base.
Le point S est le sommet de cette pyramide.
Ce point S est à la verticale de ?
Et à quelle hauteur est-il ?
Ca, on peut le trouver à partir de Pythagore.

En France, aucun collégien ne sait faire cet exercice. Et même chez les lycéens, à peu près personne ne sait résoudre ça.
En particulier, on va avoir besoin de la longueur AC pour en déduire la longueur AS. Et ça n'a rien d'évident.

[lyceen95]

Edit... en fait c'est un peu moins compliqué que ce que je voyais.
La position du point S est très facile à trouver.

[Black Jack]

Bonjour,

A partir des données, on peut facilement dessiner la base ABCD.

Sur le dessin (fait avec la plus grande précision possible), on peut mesurer (à la règle graduée) la distance AC.

... et calculer la hauteur de la pyramide (AS) par Pythagore par AS² + AC² = SC² (SC donné et AC mesuré sur le dessin)

On a alors tout ce qu'il faut pour dessiner un patron (développé) de la pyramide.

Remarque :
On peut aussi calculer SC (au lieu de mesurer) mais ce calcul; bien que pas très difficile, n'est peut-être pas du niveau 4ème
... et donc, comme on dit bien "From a drawing sheet..." il est probable que la mesure (à la règle graduée) de SC sur le dessin est permise.

[lyceen95]

Pour calculer la hauteur AS, c'est plus simple.
Déjà, AS est la hauteur .... parce qu'on a 2 triangles rectangles en A , donc la droite AS est perpendiculaire au plan ABCD.
Et on nous dit que ces 2 triangles rectangles, en plus de ça, ils sont isocèles.
Donc la hauteur AS est de 5 cm.
L'information AC mesure 14 cm est donc redondante. On fait confiance à l'énoncé, on suppose que cette longueur est bien de 14cm. Je n'ai pas vérifié.

[Black Jack]

Pour calculer la hauteur AS, c'est plus simple.
Déjà, AS est la hauteur .... parce qu'on a 2 triangles rectangles en A , donc la droite AS est perpendiculaire au plan ABCD.
Et on nous dit que ces 2 triangles rectangles, en plus de ça, ils sont isocèles.
Donc la hauteur AS est de 5 cm.
L'information AC mesure 14 cm est donc redondante. On fait confiance à l'énoncé, on suppose que cette longueur est bien de 14cm. Je n'ai pas vérifié.

Bonjour,

Il faudra que je vérifie, mais j'ai bien l'impression que les infos "triangles isocèles" et SC = 14 cm sont incompatibles.

[lyceen95]

Les calculs sont compliqués, mais j'ai le même sentiment que toi.

[Ben314]

Salut,

Les calculs sont compliqués, mais j'ai le même sentiment que toi.

Certes, certes, on peut surement faire des calculs compliques concernant la pyramide de l'enonce, sauf que ce qui est demande, c'est uniquement de la construire et pas de la mesurer...

[Black Jack]

Salut,

Les calculs sont compliqués, mais j'ai le même sentiment que toi.

Certes, certes, on peut surement faire des calculs compliques concernant la pyramide de l'enonce, sauf que ce qui est demande, c'est uniquement de la construire et pas de la mesurer...

Salut,

Cela ne change rien au problème pour la construire.

Si on construit en utilisant la donnée sur les triangles isocèles ... alors, dans la pyramide construite, la donnée SC = 14 cm n'est pas respectée.
Si on construit en utilisant la donnée SC = 14 cm ... alors, dans la pyramide construite, la donnée sur les triangles isocèles n'est pas respectée.

Pour moi, dans l'énoncé, il y a bien des données redondantes ... mais incompatibles.

On ne peut pas construire de pyramide conforme à toutes les données de l'énoncé.

Il faudrait cependant que je fasse des calculs un peu sérieux pour voir si il y a bien un soucis.

[Black Jack]

Rebonjour,

Je viens de faire les calculs ... et les 2 données mentionnées sont bien incompatibles.

Néanmoins, la hauteur de la pyramide calculée par la donnée SC = 14 cm n'est que de peu différente de 5 cm... et si on arrondit la valeur trouvée ... on arrive bien à 5 cm.

Comme il s'agit d'une "construction" par dessin, avec les imprécisions que cela entraine, on peut admettre que cela est correct.

[catamat]

Bonjour
Je me suis amusé aussi à calculer...
On peut calculer facilement les angles de la figure plane (ABCD) car ABD est isocèle il s'en suit que BDC l'est aussi et donc que (AC) est médiatrice de [BD] et la bissectrice de l'angle DBC donc l'angle ACB mesure 18°.

La loi des sinus dans ABC donne AC/sin(126)=5/sin(18)
donc AC =5*sin(126)/sin(18) qui est voisin de 13.09

Le calcul de AC dans le triangle rectangle SAC donne AC²=14²-5²=171
donc AC=sqrt(171) ce qui est voisin de 13.076

Effectivement ce n'est pas rigoureusement égal mais pour une construction cela peut passer.

[Ben314]

J'aime bien le "ça peut passer" : quand tu doit découper du carton, toi tu les fait avec quoi tes mesures pour voir une différence d'un dixième de milimetre ?

[catamat]

c'était un euphémisme... disons que c'est plus qu'acceptable !!

[azf]

c'est bien dommage tout ça d'avoir placé SC=14cm dans l'énoncé

par contre à part ça si on enlève AC de l'énoncé (distance inutile de donner) je trouve que c'est joli avec 126°=90°+18°

[azf]

coquille je voulais dire 90°+36°=126°

[Black Jack]

c'est bien dommage tout ça d'avoir placé SC=14cm dans l'énoncé

par contre à part ça si on enlève AC de l'énoncé (distance inutile de donner) je trouve que c'est joli avec 126°=90°+18°

Bonjour,

AC n'est pas donné dans l'énoncé.

Et, bien que SC = 14 cm est redondant (et un rien à coté de la vraie valeur), le fait de le donner explicitement permet de tracer facilement le développé (patron) de la pyramide (et pas seulement de sa base) à la latte, au rapporteur et au compas.

[azf]

AC n'est pas donné dans l'énoncé.

Et, bien que SC = 14 cm est redondant (et un rien à coté de la vraie valeur), le fait de le donner explicitement permet de tracer facilement le développé (patron) de la pyramide (et pas seulement de sa base) à la latte, au rapporteur et au compas.

Bonjour

je voulais dire SC (mais sur ce forum pour corriger un message c'est tout un truc)

Bon sinon à part ça :

on peut très bien tracer (à la règle graduée bien que ce soit constructible uniquement au compas mais ce n'est pas demandé dans l'énoncé) si on ne donne pas SC

par exemple
et ici AB=5cm

[azf]

par exemple
et ici AB=5cm

et

sous la condition donnée dans l'énoncé ABC=ADC=126°

donc le fait de ne pas donner SC n'empêche rien du tout pour construire le patron

[azf]

Obiter dictum

Je veux bien détailler mes calculs mais pas ici (sur forum café) sa fille est en quatrième qu'est-ce que je vais raconter sur la trigo ou (pour la simplification des fractions avec le nombre d'or : déterminant d'une matrice) ??????

[Black Jack]

Rebonjour,

Va donc dire cela à l'élève de "Collège et Primaire" niveau où le problème a été donné.

Il ne connaît pas le nombre d'or et encore moins comment construire (sur dessin) une longueur correspondant au nombre d'or à partir d'une longueur unité sur papier.

Au niveau "Collège et Primaire", avec le bagage emmagasiné, on ne peut pas tracer le patron de la pyramide sans la donnée SC ... bien que redondante.

On ne doit pas tenter d'expliquer à un élève du Secondaire la gravitation par la relativité générale ...
Dit autrement, on doit utiliser les connaissances acquises pour traiter un problème posé et pas en utiliser d'autres qui seront, peut-être, vues bien plus tard.