Produit cartésien et somme tensorielle

[mathelot]

Bonjour,
Qu'est ce qu'une somme et un produit tensoriels?
Est ce qu'on les définit comme objet universel d'une catégorie? On définit l'ensemble des nombres complexes comme un produit cartesien,peut on le définir avec un produit tensoriel ?

[phyelec]

Bonjour,

Je connais un peu les tenseurs. Voici ce que j'ai compris des tenseurs (en très résumé):
On peut définir mathématiquement les tenseurs comme les objets restant invariants par
changement de base. On peut y voir la notion de vecteur dont la norme va rester constante quelque soit la base dans lequel il projeté. Les tenseurs sont étroitement liés à la physique (température,vecteur vitesse), souvent décrit de manière matricielle. Les tenseurs permettent d’exprimer les lois de la physique de façon à ce qu’elles ne varient pas lors d’un changement d’observateur qui revient alors à un simple changement de
base lié à une métrique particulière, ce qui est fondamental. Le produit tensoriel s'apparente au produit scalaire qui est invariant par changement de base.
somme de deux tenseurs de même ordre :
tenseur ordre 1 :

teneur ordre 2 :
c = a + b ⇔ cij = aij + bij
tenseur ordre 4 :
C = A + B ⇔ Cijkl = Aijkl + Bijk

Produit tensoriel "⊗" :
On peut avoir un produit tensoriel de deux tenseurs de même ordre ou d'ordres différents. L'ordre du tenseur calculé est la somme des ordres des deux tenseurs.
produit de 2 tenseurs d'ordre 1 donne un tenseur d'ordre 2 :
⊗
produit d'un tenseur d'ordre 2 et d'un tenseur d'ordre 1 donne un tenseur d'ordre 3 :
⊗
produit de 2 tenseurs d'ordre 2 donne un tenseur d'ordre 4 :
⊗


Pour les catégories, je ne connais pas assez pour vous répondre.