Topologie

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Sameraz
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Topologie

par Sameraz » 06 Déc 2021, 11:49

Bonjour, j'espere que vous etes bien. J'ai une petite question de topologie elementaire de mon cours. En travaillant sur R^n, la definition d'un ouvert est un ensemble dans le quel n'import quel point peut etre contenu dans un intervalle ouvert y-inclus. Mais en espaces topologique, on a definit un ouvert d'une autre facon (jai bien compris ca, car E n'est plus R^n). Mais on a aussi dit que dans la topologie discrete P(E) (ensemble des parties de E), toute partie de E est un ouvert (car c'est un element de cette topologie). Mais on peut bien avoir une partie de E qui est fermee (si E est par example un segment de R). Conment ca?



tournesol
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Re: Topologie

par tournesol » 06 Déc 2021, 13:23

Dans R^n avec n >1 , il n'est plus question d'intervalle mais de boule .
Par définition , un fermé est le complémentaire d'un ouvert .
Avec la topologie discrète P(E) , toutes les parties de E sont ouvertes et comme que toute partie est le complémentaire de son complémentaire , toutes les parties de E sont fermées .
Je formalise :
Soit A une partie de E . Son complémentaire c(A) est aussi une partie de E qui est donc ouverte par définition .
c(c(A)) est donc fermée par définition . Or c(c(A))=A . Donc A est fermée .

Sameraz
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Re: Topologie

par Sameraz » 06 Déc 2021, 14:11

Bon, mais je n'arrive tjrs pas a comprendre. Je veux travailler dans E= [0, 10] (le segment de R).
Il est clair que [0,1] est inclus dans [0,10], donc [0,1] est un element de P(E). Donc pour la topologie discrete P(E), [0,1] est un ouvert. Or [0,1] est un intervalle fermé donc un fermé. C'est ici que bloque. Par la definition d'un ouvert, [0,1] ne peut pas etre un ouvert comme, par example, l'element x=1 ne peut jamais etre contenu dans une boule ouverte incluse dans [0,1]

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mathelot
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Re: Topologie

par mathelot » 06 Déc 2021, 14:16

un ensemble d'une topologie peut être ouvert et fermé.

Sameraz
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Re: Topologie

par Sameraz » 06 Déc 2021, 14:44

Donc, un ensemble considéré fermé et non ouvert dans un certain sens (comme le segment [0,1] de R) peut etre considéré un ouvert dans un autre sens (comme element de la topologie discrete de [0,10] par example)?

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Ben314
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Re: Topologie

par Ben314 » 06 Déc 2021, 20:30

Salut,
Le problème, c'est de bien comprendre qu'une partie donnée peut parfaitement être ouverte pour une certaine topologie et ne pas être ouverte pour une AUTRE topologie.
Par exemple, le segment [0,1] est fermé et non ouvert pour la topologie usuelle de R. Et il n'est ni ouvert ni ferme pour la topologie grossiere (si tu as vu ce que c'est). Par contre il est à la fois ouvert et fermé pour la topologie discrète (comme toute les autres parties). Et on pourrait sûrement inventer une topologie sur R pour laquelle [0,1] est ouvert mais pas fermé.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

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