Bonjour,
J'ai un exercice d'analyse complexe (voir ci-attaché). https://www.cjoint.com/c/KLdnkBz6Pk6
Voici mes réponses:
1- si k=1 , alors f(z)=f(z), donc est l'ensemble des fonctions holomorphes sur le disque D(0, R).
2- On a , donc , par suite ou , d’où le résultat.
3- On montre par récurrence que pour tout n et pour tout z dans le disque D(0, 1).
Le terme à gauche tend vers f(0) lorsque n tend vers . Ainsi la suite est convergente et par suite elle est bornée. comme sa limite , alors à partir d'un certain rang , ce qui donne que si z est dans D(0, 1).
4- Soit z dans D(0, 1). On a . Par le principe du maximum, f est constante sur D(0,1), ainsi f est constante sur D(0,R) par le principe des zéros isolés.
On a , donc il existe tel que et par suite .
5-a- Comme f(0)=0, alors 0 est un zéro de f d'ordre au moins 1, donc il existe et une fonction g holomorphe sur D(0,R) vérifiant et .
Mes réponses sont-elles correctes?
Pouvez vous m'aider à résoudre les questions restantes 5-b ) et 6)?
Merci beaucoup d'avance.
Cordialement,
Sylvain