Applications

[Albator1902]

Bonjour,
Je commence un chapitre sur les applications et je bloque sur un exo.
On a f une application de E vers E tq fofof=f
Et il faut montrer que f est injective si et seulement si elle est injective

[mathelot]

seulement si f est surjective ?

[Albator1902]

Il faut montrer l’implication et la réciproque

[mathelot]

bonsoir,
on suppose f injective.

Que peut on dire de ?

[beagle]

f est injective si et seulement f est injective

c'est bouleversant ce truc, non?

[mathelot]

[Albator1902]

Surjective equivalent a injectif, j’avais pas vu mon erreur ahah

[mathelot]

on suppose f injective.

Que peut on dire de ?

je réitère ma question..

[mathelot]

bonsoir,

supposons f injective
on en déduit alors

d'où

f est donc bijective et

réciproquement, f bijective implique f injective.
Par contre, je n'ai pas sû montrer que "f surjective" implique "f injective"

[catamat]

Bonjour
J'avais trouvé cela :
Soit f surjective et a, b éléments de E tels que f(a)=f(b)
Il faut démontrer que a=b.

Puisque f est surjective il existe a' dans E tel que f(a')=a et a" dans E tel que f(a")=a'
De même on a b' et b" dans E tels que f(b')=b et f(b")=b'

On a donc a=fof(a") et b=fof(b")

Or f(a)=f(b) donc fofof(a")=fofof(b") donc d'après la propriété de f on a f(a")=f(b") c'est à dire a'=b'
donc leurs images par f sont égales : f(a')=f(b') c'est à dire a=b.

[Ben314]

Salut,

Par contre, je n'ai pas sû montrer que "f surjective" implique "f injective"

C'est la même chose :
Si f est surjective alors TOUT y s'écrit f (x) et on a fof(y)=fofof(x)=f(x)=y donc fof=Id.
Et le fait que dans les deux cas on a fofof=f => fof=Id peut aussi se voir modulo de savoir (et c'est évident) que :
- f injection => f simplifiable à gauche, c'est à dire que, pour toute fonction g et h, si fog=foh alors g=h.
- f surjective => f simplifiable à droite : si gof=hof alors g=h.

[mathelot]

Merci,Ben.
Cette classe de fonctions vérifiant n'est pas vide:

Avec (k constante réelle) et sont des éléments de cette classe.

[Ben314]

Oui, et ta fonction vérifie en fait fof=Id.
Mais peut-tu trouver une fonction de R dans R vérifiant fofof=f mais pas fof=Id ?

[mathelot]

Oui, et ta fonction vérifie en fait fof=Id.
Mais peut-tu trouver une fonction de R dans R vérifiant fofof=f mais pas fof=Id ?

f=constante

[Ben314]

Oui, et on peut mélanger les deux idées, par exemple avec f(x)=1 pour x<0, f(x)=1-x entre 0 et 1 puis f(x)=0 pour x>1.