Primitives d'expressions trigonométriques

[Toine44]

Bonjour à tous.
Je viens solliciter votre éclairage face à deux petits problèmes liés aux intégrations.
En effet, je cherche une primitive de deux expressions, sachant que je ne peux travailler dans C, et que je ne peux pas faire appel aux formules de Moivre.

Voici les deux expressions :

A = x²/((x²-5)^(3/2))

B = 8 sin²(x/3) cos (x/3)

Pour A, je n'obtiens rien par substitution trigonométrique, ni même en réécrivant U^(3/2) sous la forme U × racine (U).
Pour la B, j'ai bien tenté quelques " bricolages " , mais je me retrouve à devoir déduire une primitive de cos³(x).

Bref, je tourne en rond.
Avec des calculateurs de primitives en ligne j'obtiens des résultats dont je suis bien éloigné pour le moment.
Comment procéder?

Merci d'avance à tous, pour vos réponses.

[mathelot]

Bonjour,
pour la question (B)

[mathelot]

pour la question (A):







où C est une constante réelle

[Pisigma]

Bonjour,

pour la A, comme tu es en Sup, si tu manipules les fonctions hyperboliques, tu peux aussi poser

[Toine44]

Merci beaucoup à toi.
Je ne savais que dx/racine(x²-5) était un lemme. Comment le démontrer? Cette expression n'est pas dans notre formulaire (nous avons démontré l'ensemble des expressions du formulaire, d'ailleurs).
En revanche, je ne vois pas comment passer de l'expression B à 8 sin³(x/3), et surtout qu'en faire?
Ces deux expressions me perturbent beaucoup. Jusqu'ici je n'avais pas rencontré de problème. Encore une fois, merci d'avance.

[Toine44]

Bonjour,

pour la A, comme tu es en Sup, si tu manipules les fonctions hyperboliques, tu peux aussi poser

Merci. Oui, j'avais bien vu cette possibilité, mais les fonctions hyperboliques font parties des restrictions... C'est bien dommage, d'ailleurs.

[Pisigma]

une "vieille méthode" poser

B) poser

[mathelot]

Formules utilisées
Pour la (A), l'intégration par parties

où u et v sont deux fonctions continues.

Pour la (B)

où u et v sont deux fonctions dérivables.

[Pisigma]

Formules utilisées
Pour la (A), l'intégration par partie

oui c'est évident mais cela suppose une connaissance du lemme ; est-ce connu en France?

[mathelot]

j'ai employé le terme "lemme" comme un nom commun. Un lemme désigne un résultat préliminaire à un théorème (exemple, le lemme de Zorn)

[Pisigma]

donc on n'y gagne pas grand chose en passant par l'intégration par parties

[mathelot]

@Pisigma: pour la question (A), as tu un calcul qui évite une intégration par parties ?

[Pisigma]

poser mais le prof de Toine44 n'en voulait pas

ou poser