Centre de symétrie d'une courbe

[neon2]

Bonjour,

Je remets à jour mes connaissances en math et je suis tombé sur un problème. Je voudrais savoir comment démontrer que le point I(4,0) est centre de symétrie à la courbe d'équation . C'est visible graphiquement, mais comment le démontrer analytiquement ?

Merci d'avance

[vam]

A obtenu de l'aide ailleurs

[Black Jack]

Bonjour,

y² + V3.xy - 4V3.y - 6 = 0 (y = 0 n'est pas solution)
x = f(y) = (-y² + 4V3.y + 6)/(V3.y)

f(-a) = (- a² - 4V3.a + 6)/(-V3.a)
f(-a) = (a² + 4V3.a - 6)/(V3.a)

f(a) = (- a² + 4V3.a + 6)/(V3.a)

f(-a) + f(a) = (a² + 4V3.a - 6)/(V3.a) + (- a² + 4V3.a + 6)/(V3.a)
f(-a) + f(a) = 8
(f(-a) + f(a))/2 = 4

Donc le centre de symétrie est à l'abscisse x = 4

L'ordonnée du point de symétrie est la moyenne arithmétique des valeurs de y solutions de y² + V3.xy - 4V3.y - 6 = 0 avec x = 4
--> y² = 6
y1 = -V6 et y2 = +V6
ordonnée du centre de symétrie = (y1 + y2)/2 = 0

--> le centre de symétrie a pour coordonnées (4 ; 0)

[tournesol]

S(a,b) est centre de symétrie de la courbe d'équation f(x,y)=0 ssi
f(x,y)=0 entraine f(2a-x,2b-y)=0
ici f(8-x,-y)=0 . Cette vérification est immédiate .

[neon2]

Merci pour vos réponses, je n’ai pas forcément obtenu de l’aide ailleurs et d’ailleurs j’apprécie beaucoup les propositions données ici même si j’ai trouvé une approche plus simple par un changement de variable et en exprimant y en fonction de x.

[tournesol]

A mon avis ton approche n'est pas plus simple car y ne s'exprime pas en fonction de x avec une expression unique .
Ton attitude est de plus régressive car tu préfère utiliser des connaissances inadaptées que tu connais plutot que d'en assimiler d'autres . Celui que je t'ai proposé s'applique aux surfaces de R^3 en ajoutant une variable .
Je vais quand même appliquer ta méthode mais en réfléchissant :
y=0 ne correspond à aucun point de la courbe .
On peut donc exprimer x en fonction de y et trouver
tu appliques ensuite ton critère en inversant les coordonnées du centre de symétrie : (0;4) .
Essaie de le faire .