Injectivité des morphismes de groupe

[PythagoreSauvage]

Bonjour à tous ! Je me posais une question la dernière fois, pourquoi un morphisme de groupes n'est pas forcément injectif ? Pour moi il l'est tout le temps, j'ai essayé de faire une preuve rigoureuse :

Soient deux groupes.
Soient respectivement les éléments neutres et les lois de composition internes de

Soit

c'est à dire que est telle que pour tous

On a aussi que :



Considérons tels que et montrons qu'alors . On a :



Ainsi,


Et on a le résultat.. Pouvez vous me dire pourquoi mon raisonnement est faux (car a priori les morphismes de groupes ne sont pas tous forcément injectifs..) s'il vous plaît ? Bonne journée et merci

[tournesol]

de tu déduis
Tu suppose que ker(f)=1G , ce qui caractérise l'injectivité des morphismes de groupe , mais qui est faux en général .
définit un morphisme de groupes ...non injectif .

[tournesol]

Remarque sur les morphismes de groupe : injectif pour UN injectif pour TOUS
Supposons qu'il existe a dans G et b dans G' tels que: f(a)=b et
Alors le morphisme f est injectif .
supposons f(x)=f(y)
Alors
Donc ; donc par régularité
Donc x=y
Autant alors caractériser cette propriété avec "l'injectivité par rapport à :
f(x)=1G' x=1G (étant entendu que f(1G)=1G', 1G joue le rôle de a et 1G' celui de b)
C'est à dire ker(f)={1G}
Les morphismes étendent souvent des propriétés ponctuelles a tous les éléments .
Pa exemple une application linéaire est continue ssi elle l'est en un point donné .

[PythagoreSauvage]

de tu déduis
Tu suppose que ker(f)=1G , ce qui caractérise l'injectivité des morphismes de groupe , mais qui est faux en général .
définit un morphisme de groupes ...non injectif .

Ah oui !! En effet là est l'erreur. En somme je prouve quelque chose en supposant que c'est vrai, pas mal.. Et merci pour vos réponses