Bonjour
Ce que je cherche à montrer m'a l'air évident donc je suis certain qu'on peut faire la démo en moins de lignes
Ceci dit je ne peux pas me faire confiance au pif comme ça, surtout que je ne suis pas mathématicien ou alors juste du dimanche ce qui n'est vraiment pas une référence et donc du coup j'ai bien été obligé de la faire car j'ai besoin de ce résultat pour faire un bidule en géométrie
Si vous avez une démo plus simple j'aimerai bien la lire (en espérant la comprendre)
Énoncé :
Soit un repère barycentrique d'un espace affine d'origine et de direction un -espace vectoriel de dimension et un corps commutatif de caractéristique différente de
alors en considérant l'ensemble de vecteurs de
toute famille de vecteurs distincts deux à deux de cet ensemble là constituera une base de
Démonstration:
Avant toutes choses (i.e. avant même d'entrer dans le sujet proprement dit)
On montre que pour l'application alors
On va considérer et l'énoncé dit que de sorte que
Notons resp. la partie entière inférieure resp. la partie fractionnaire du rapport
par conséquent et
on a donc et donc
par ailleurs et donc
À présent entrons dans le sujet
Notons une quelconque permutation de
alors il est trivial que si est un repère barycentrique de (ce que pose l'énoncé) il en sera de même pour
À ce repère barycentrique on va associer la famille de vecteurs de
et on va associer l'ensemble de vecteurs de
de plus en se donnant et tels que on va associer la famille
de vecteurs de
Alors il devient trivial que si est une base de alors il en sera de même pour
et par conséquent il en sera de même pour toute famille de vecteurs distincts deux à deux de l'ensemble
Par ailleurs l'énoncé pose que est un repère barycentrique de
alors dans ce cas il devient trivial que la famille
soit une base de
Avec ce qui a été dit précédemment alors il ne reste plus qu'à montrer que
est une base de
On termine donc en montrant cela:
pour tout et tout alors en effet
Par conséquent il suffira de démontrer que:
est une base de
sachant que est une base de
Montrons donc cela:
Comme est une base de
et comme est de caractéristique différente de alors on sait qu'il existe une base orthonormale pour une forme bilinéaire symétrique telle que
la matrice identité d'ordre
Notons
alors on peut poser la matrice de passage et par ailleurs posons
la matrice dont la -ième colonne est celle des coordonnées du -ième vecteur de la famille
par rapport à la base
alors où ici est une matrice carrée d'ordre
dont la première colonne est nulle
et pour la -ième colonne tous ses coefficients sont nuls excepté le coefficient situé à la ligne qui vaut
(de sorte mais on s'en fiche ici soit dit en passant que la -ième ligne de cette matrice est nulle)
On cherche donc à montrer que M est inversible sachant que
Comme est inversible (c'est une matrice de passage)
il suffit donc de montrer que est inversible
Ce qui est évident puisque cette matrice là est triangulaire supérieure de diagonale
(sa deuxième diagonale supérieure n'est pas nulle et toutes les autres sont nulles mais bon on s'en fiche aussi)
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