Norme d'une forme linéaire continue

[Samoth]

Bonjour,

On considère deux exposants conjugués et , et pour tout l'application qui à associe le réel .

On souhaite démontrer que . Indication : on pourra poser .
En préliminaire, j'ai démontré que , et que .

Voici ce que j'ai produit :

Avec , et d'après l'inégalité de Hölder :



Puis, en remarquant que , alors , et donc :

car et sont conjugués.

Finalement,

Je serai tenté d'en conclure que .
Est-ce vrai ?

Merci pour vos indications.

[Ben314]

Salut,
Est-ce que tu crois vraiment qu'en ne calculant l'image que de UNE SEULE fonction f par ton application l_g ça peut suffire à MAJORER la norme de l'application ?
Tu peut me rappelle ce que c'est la définition de la norme d'une application linéaire ?

[Samoth]

Bonjour Ben,
Comment vas-tu ?

Est-ce que tu crois vraiment qu'en ne calculant l'image que de UNE SEULE fonction f par ton application l_g ça peut suffire à MAJORER la norme de l'application ?

Absolument pas. J'utilise l'indication et j'essaye de voir où cela va me mener.

Tu peut me rappelle ce que c'est la définition de la norme d'une application linéaire ?

Oui :

Merci pour tes indications Ben.

[tournesol]

Si je ne me trompes pas , il y a aussi la caractérisation par
Soit alors f de norme p égale à 1 . On a

Donc
Je suppose donc que l'indication concerne l'autre inégalité .
Que vaut pour f =ton indic

[Samoth]

Merci Tournesol pour tes indications.

En effet, on a :



Effectivement, le premier sens découle de l'inégalité de Hölder.

Pour l'autre sens donc...
Avec , on obtient :



Comme (par définition des exposants conjugués), alors
Ainsi,

[tournesol]

comment définit on lorque g est nulle sur un ensemble qui n'est pas de mesure nulle , et que q est inférieur à 2 ?
D'autre part ton avant dernière inégalité n'est vraie que si la norme de g est supérieure ou égale à 1 .
Est tu sûr que q est supérieur à 1 ?

[Samoth]

Effectivement, j'ai écrit et conclu sans réfléchir.

La fonction f de l'indication devrait permettre d'obtenir l'inégalité .

Bon, je continue à y réfléchir...

[tournesol]

Il serait bon que des collègues qui fréquentent plus souvent que moi les espaces Lp interviennent .
Au secours !!!

[Samoth]

Ahah.
En tout cas, les raisonnements ont le temps d'être digérés, et les idées de germer ^^

Merci pour tes indications et remarques qui me sont plus qu'utiles !

[tournesol]

J'aimerais t'aider mais je n'ai pas le temps de réviser mes espaces Lp .
tu ne m'as pas répondu sur |g|^(q-2) . J'ai l'impression qu'il manque des hypothèses .
Egalement , tu devrais trouver des infos sur le net sur la "dualité dans les espaces Lp"