Forme quadratique nulle

[azf]

Bonjour,

et merci de m'aider pour comprendre une définition un peu difficile

livre d'algèbre J.Lelong-Ferrand&J.M.Arnaudiès tome 1
3-ième édition
ISBN 2-04-007074-5

ci-dessous vous trouverez écrit en caractère gras ce que je ne comprends pas
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Chapitre Formes bilinéaires et quadratiques

En début de ce chapitre le corps K est supposé commutatif et de caractéristique différente de 2

page 364

Définition XII.2.2 (ci-dessous un recopiage de la définition donnée mot pour mot au point et à la virgule près)

Soit E un espace de dimension finie. Une forme quadratique sur E est une application Q: E -> K qui s'exprime, dans chaque base de E, sous la forme d'un polynôme homogène de degré 2 des variables coordonnées, ou qui est identiquement nulle


ou qui est identiquement nulle?

On parle du cas où la forme bilinéaire, dont est associée la forme quadratique, est alternée et donc dans le contexte de cette définition dans ce cas aussi il s'agit d'une forme quadratique(dite nulle)?

Ou j'ai strictement rien compris

donc est-ce que j'ai bien compris en traduisant cette définition par ceci:

Soit E un espace de dimension finie. Une forme quadratique sur E est une application Q: E -> K qui s'exprime, dans chaque base de E, sous la forme d'un polynôme homogène de degré 2 des variables coordonnées, ou bien alors lorsque la forme bilinéaire dont est associée la forme, est alternée (dans ce dernier cas on parle alors de forme quadratique nulle)

[azf]

À la réflexion je ne vois pas comment ça pourrait signifier autre chose que cela

Soit E un espace de dimension finie. Une forme quadratique sur E est une application Q: E -> K qui s'exprime, dans chaque base de E, sous la forme d'un polynôme homogène de degré 2 des variables coordonnées, ou bien alors lorsque la forme bilinéaire dont est associée la forme, est alternée (dans ce dernier cas on parle alors de forme quadratique nulle)

Ceci dit les auteurs n'ont pas parlé de forme quadratique nulle ....

ceci dit je vais laisser en blanc ce qui est écrit en gras car je dois avancer (et puis bon j'ai l'habitude avec ce bouquin que des fois je dois laisser un peu de temps passer pour piger)

[tournesol]

La definition est claire :
forme quadratique = polynôme homogène de degré 2 ou application nulle .
Toi tu compliques car il est évident qu'une forme BIlinéaire est nulle ssi elle est symétrique et alternée , un peu comme : une fonction est nulle ssi elle est impaire et paire .
Ce que tu peux dire , c'est qu'une forme quadratique est nulle ssi sa forme bilinéaire associée est l'application nulle .

[azf]

Merci Tournesol

Mince! C'est juste que je ne cogite pas assez : je vais faire plus attention (c'est gros comme une vache en plein milieu d'un couloir en plus)