Endomorphisme bijectif (Lou24)

[mathelot]

Troisième exercice de Lou24

Exercice 3:
Soit a € R. On définit l'application fa : (x1, x2, x3) ———>(ax1+x2 + x3, -2x1 + x2 + x3, x1+ 3x2 – ax3)
a) Soit (So) le système linéaire fa(x1, x2, x3) = 0 avec a comme paramètre. Échelonner (So). Sous quelle condition le système (So) a-t-il une unique solution?
b) A-t-on fa est bijective pour tout a € R? Justifier.
c) Soit (y1, y2, y3) € R³ fixé. Soit (S) le système linéaire fa(x1, x2, x3) = (y1, y2, y3) avec quatre paramètres a, y1, y 2 et y3. Échelonner (S). (On pourra s'aider de la question a).) Montrer que (S) est compatible si et seulement si : a^2+ 5a + 6 différent de 0 ou 7y1 + (3a - 1)y2 + (-a - 2)Y3 = 0.
d) En déduire, sans justifier, toutes les valeurs de a pour lesquelles fa est bijective.
Pour tout les exercices €= appartient a

[mathelot]

Bonsoir,
question a

En calculant L1-L2 et -3L2+L3


pour et , on en déduit x_1=x_2=x_3=0
est donc injective (épimorphisme)

Le déterminant du système vaut:



question b
fa est bijective pour ( et