Bonjour à tous,
J'aimerais comprendre finement le lien entre "événements indépendants" et "répartition". A l'origine je n'arrive pas à expliquer pourquoi deux événements indépendants ne le sont plus si on change la cardinalité de l’univers.
L'exemple de base est simple (un exemple d'un cour de 1ere):
Nous travaillons avec un jeux de carte de 32 cartes standard
Soit A l'évènement "Tirer un roi"
Soit B l'évènement "Tirer un trefle"
donc "A ∩ B" est "Tirer le roi de trefle"
donc P(A) = 4 / 32, P(B)= 8 / 32 et P(A ∩ B) = 1 / 32
et on peut donc vérifier que P(A ∩ B) = 1 / 32 = P(A) x P(B) = 4 / 32 x 8 / 32
Donc sans surprise les évènements A et B sont indépendants
Jusque là je suis un homme heureux
Maintenant ajoutons deux cartes blanches dans le jeu de carte et refaisons les mêmes calculs
P(A) = 4 / 34, P(B)= 8 / 34 et P(A ∩ B) = 1 / 34
et là P(A) x P(B) = 4 / 34 x 8 / 34 = 32 / 1156 = 16 / 578 = 8 / 289 et différent de 1/34
donc les évènements ne sont pas indépendants ???
Et là je ne comprend pas pourquoi le fait d'ajouter deux cartes blanches dans le jeux lie les deux événements alors que ces cartes n'interviennent même pas dans ces deux événements ...
De plus j'ai trouvé ça sur le web, c'est un autre exemple d'un cour qui semble faire un lien entre "indépendance" des évènements et "répartition des solutions" :
Dans le lancer d'un dé équilibré, les événements A = « obtenir un numéro pair » = {2; 4; 6} et B = « obtenir un multiple de 3 » = {3; 6} sont des événements indépendants. La répartition des nombres pairs dans l'univers Ω = {1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6} est identique à celle des nombres pairs dans B.
Traduit sous forme de probabilité, cela donne :
P ( A ) = P B ( A ) = 1 / 2 .
On peut aussi simplement observer que :
P ( A ) = 1 / 2 , P ( B ) = 1 / 3
et que
P ( A ∩ B ) = P ( { 6 } ) = 1 / 6 = P ( A ) ⋅ P ( B ).
D'autre part, les événements A = « obtenir un nombre pair » = {2; 4; 6} et C = « obtenir au moins 4 » = {4; 5; 6} ne sont pas indépendants car la répartition des nombres pairs dans l'univers de départ est de 1/2 et la répartition dans le sous-univers C est de 2/3.
On peut aussi simplement observer que :
P ( A ∩ C ) = P ( { 4 ; 6 } ) = 1 / 3 ≠ P ( A ) ⋅ P ( C ) = 1 / 4
Je me rend compte que je ne comprend donc pas la notion d'indépendance de deux évènements... quelqu'un aurait-il la gentillesse de venir éclairé ma lanterne ?
Merci d'avance pour votre aide