Exercice systèmes linéaires

[Lou24]

Bonjour j’ai 3 exercices à faire mais je n’y arrive pas du tout, est ce que vous pouvez m’aider à comprendre et à les faire s’il vous plaît ? Merci beaucoup d’avance, voici les 3 exercices :

Exercice 1 : On définit l'application f : a +iB ——>e2ae-iB (où a et B sont réels).
a) Montrer que pour tout z, w dans C, on a f(z+w) = f(z)f (w).
b) Soit w € C non nul. Montrer qu'il existe z € C tel que f(z) = w. Ce z est-il unique? Existe-t-il z € C tel que f(z) = 0?
c) En déduire que f n'est pas une bijection de C dans C. Puis, sans justifier, donner un sous- ensemble E de C tel que f réalise une bijection de E dans C.
d) Résoudre dans C l'équation f(z) = f(z’).

Exercice 2 : Soient a, b, c et d dans R, tels que c différents de 0. On définit la fonction az + b f: cz +d
Toutes les réponses devront être données en fonction des paramètres a, b, c et d.
a) Donner l'ensemble de définition Df de f.
b) Résoudre dans C l'équation à deux inconnues f(z) = f(z').
c) Soit w € C. Résoudre l'équation f(z) = w où l'inconnue z est dans Df. En déduire l'image Im f de f lorsque f n'est pas constante.
d) Sans justifier, donner une condition pour que la fonction f réalise une bijection de D; vers Im f. IK -> C
(J’ai déjà fait la question a et d de cet exercice.)

Exercice 3:
Soit a € R. On définit l'application fa : (x1, x2, x3) ———>(ax1+x2 + x3, -2x1 + x2 + x3, x1+ 3x2 – ax3)
a) Soit (So) le système linéaire fa(x1, x2, x3) = 0 avec a comme paramètre. Échelonner (So). Sous quelle condition le système (So) a-t-il une unique solution?
b) A-t-on fa est bijective pour tout a € R? Justifier.
c) Soit (y1, y2, y3) € R³ fixé. Soit (S) le système linéaire fa(x1, x2, x3) = (y1, y2, y3) avec quatre paramètres a, y1, y 2 et y3. Échelonner (S). (On pourra s'aider de la question a).) Montrer que (S) est compatible si et seulement si : a^2+ 5a + 6 différent de 0 ou 7y1 + (3a - 1)y2 + (-a - 2)Y3 = 0.
d) En déduire, sans justifier, toutes les valeurs de a pour lesquelles fa est bijective.
Pour tout les exercices €= appartient a

[catamat]

Bonjour;

C'est copieux....
Le texte est parfois mal retranscrit...

Pour l'exo1
Je suppose que f est une application de dans telle que



La question 1) est une simple application des propriétés de l'exponentielle

Pour la 2), si w est non nul on peut l'écrire sous forme exponentielle, où , le reste vient facilement...

[mathelot]

@Lou24: tu peux peut-être ouvrir trois fils, un par exercice