Bonsoir,
Voici mon problème :
On se place dans avec grand. Soit très petit devant . Je possède relations affines de la forme avec . Je pose le sous-espace affine de défini par ces relations. Je souhaite calculer une projection orthogonale d'un point de sur cet espace.
On a M de dimension car déterminé par relations. (Je suppose que le calcul final de la projection consistera à inverser un système linéaire déterminé par une matrice de taille dont il faut déterminer les coefficients).
Voici ma solution :
Soit que l'on souhaite projeter sur .
1- On calcule un point qui fera office d'origine à translation près. On le fait en se fixant coordonnées arbitraires, on les injecte dans les relations affines. Les dernières coordonnées sont alors obtenues en inversant un système linéaire de taille .
2-On calcule une base de , la direction de . Pour cela, on fixe pour avoir les équations linéaires caractérisant puis on échelonne le système. On trouve alors naturellement une base de vecteurs en fixant des coordonnées à . Notons cette base .
3- On orthonormalise cette base à l'aide de l'algorithme de Gram-Schmidt.
4- On translate par
5- On projette sur par la formule . (Avec le produit scalaire).
6- On applique la translation dans l'autre sens pour obtenir le résultat souhaitée :
Voici mes questions :
Est-ce que mon algorithme est bon ?
Mon but étant de programmer cet algorithme, je souhaite estimer sa complexité et savoir s'il n'y en a pas un meilleur. la valeur de a-t-elle un impact notable sur la complexité (si je prend plutôt proche de ) ? Qu'en pensez-vous ?
En vous remerciant,
Rhaegar