Arithmétique

[Liam20]

Bonjour j'avais une exercice j'ai pas réussi pour la question 1 j'ai réussi mais la question j'ai pas très bien compris pourriez vous m'expliquer s'il vous plait.

Exercices :

1) Soient a et b deux entiers relatif , Montrer que 7 divise a^2 + b^2 si et seulment si 7 divise à la fois a et b

2) Déterminer l'ensemble des solution dans N^3 de l'équation ci dessous :

x^2 + y^2 = 7z^2

[Maxymyze]

1° Modulo 7 les carrés sont 0, 1, 2 et 4
On a vite fait de voir que parmi les16 possibilités de (a²,b²) seul (0,0) donne 0 pour la somme.

[Liam20]

En fait pour la question 1 j'ai trouvé comme vous aussi 0,1,2,4 mais j'ai juste un doute sur modulo pourquoi on prend 0,1,2,4 ?

0^2 = 0[7]
1^2 = 1[7]
2^2 = -3[7]
3^2 = 2[7]
4^2 = 2[7]
5^2 = 4[7]
6^2 = 1[7]

[Maxymyze]

- 3 = 4

[Maxymyze]

La
question 2 est fondée sur la descente infinie de Fermat.
Si une solution est
x² + y² = 7z²
Alors, nécessairement, il y a une autre solution qui est
x'² + y'² = 7z'²
avec (x', y', z') = (x/7, y/7, z/7)
On ne peut pas diviser éternellement par 7 des entiers.

[mathelot]

sauf si x=y=z=0

[Maxymyze]

Bravo

[Liam20]

-pour la question1 si j'ai bien compris on prendre les valeurs restes modulo [7] c'est à dire 0,1,2,4 sont le reste de modulo [7] car les reste ne doit pas strictement supireurs à 7 c'est à dire 0<...<7 c'est ça ?

-Pour la question 2 pouvez vous m'expliquer en détaille s'il vous plaît j'ai toujour pas compris.

[Liam20]

La
question 2 est fondée sur la descente infinie de Fermat.
Si une solution est
x² + y² = 7z²
Alors, nécessairement, il y a une autre solution qui est
x'² + y'² = 7z'²
avec (x', y', z') = (x/7, y/7, z/7)
On ne peut pas diviser éternellement par 7 des entiers.

Vous pouvez m'expliquer en détaille s'il vous plait

[Maxymyze]

Soit x² + y² = 7z². Une solution est x=y=z=0. Il est élémentaire de montrer qu'hors ce cas, les trois nombres x, y et z sont non nuls.
D'après la question 1°, 7 divise x et y.
Donc 49 divise le premier membre.
Donc 49 divise le second membre.
Donc 7 divise z²
Mais 7 est premier
Donc 7 divise z
On obtient donc une nouvelle solution en divisant x, y et z par 7, ce qui revient à diviser les deux membres par 49.
On doit pouvoir recommencer ad vitam aeternam.
Mais cela n'est pas possible. Le nombre de diviseurs est dans tous les cas fini.

[Liam20]

D'accord Merci beaucoup