Topologie : intersection de l'intérieur et des points isolés

[chombier]

Bonjour,
Je crois avoir réussi à montrer que



où est un espace topologique, et est l'ensemble des points isolés de A.

Qu'en pensez-vous ? Saurez-vous le montrer ?

[Imod]

Et que penses-tu de

Imod

[chombier]

Bonjour,

Merci de t'intéresser à mon petit problème

donc

donc

On a bien dans ce cas

Sauf erreur, ce n'est pas un contre-exemple

[Maxymyze]

Is(A) est un ouvert de A (union des singletons ouverts de A).
L'égalité s'écrit donc
Is(A) = A inter Is(X)
En distinguant les points de Is(X) qui appartiennent ou non à A, le résultat est évident.

[chombier]

Bonjour, je ne comprends pas tout.

Je suis d'accord , Is(A) est un ouvert de A puisque pour tout a élément de Is(A), { a } est un ouvert de A.

Donc il existe un ouvert de O de X tel que

Donc

Mais je ne vois pas pourquoi on aurait Donc .
Qu'est-ce qui permet d'affirmer que ?

[Maxymyze]

Tout ouvert de X inclus dans A est inclus dans l'intérieur de A .

[chombier]

Mais Is(A) est un ouvert de A, pas un ouvert de X

Si

et

[Maxymyze]

Vous avez raison. Oubliez ce que j'ai dit avec légèreté

[chombier]

Voici ma démonstration :

Soit
donc
donc
O et U sont des ouverts de X sont est un ouvert de X donc
De plus, donc , donc

Soit
x est isolé dans X donc {x} est un ouvert de X donc
{x} est un ouvert de X et A contient {x} donc {x} est un ouvert de A, donc