Fonction limite et suite

[maxou211000]

=

[Carpate]

Bonjour,

supposons et montrons que est positif






Par récurrence sur , est positif

[maxou211000]

Merci pour ta réponse !

[Black Jack]

Bonjour,

Double post

Petite retouche à la réponse de Carpate.

U(n+1) = 3 - 1/(U(n)+1)

Supposons U(n) > 0
U(n) + 1 > 1
1/(U(n) + 1) < 1
- 1/(U(n) + 1) > -1
3 - 1/(U(n) + 1) > 3-1
3 - 1/(U(n) + 1) > 2
U(n+1) > 2
Et donc a fortiori, U(n+1) > 0 (1)

Comme U(0) > 0 , par (1) on a U(n) > 0 pour tout n de N
********

Quant à ta question : "Et pourquoi le signe change quand 1/Un<1 puis -1/Un >-1"

Le mieux est d'aller relire les cours du Secondaire sur les manipulations des inégalités ... mais surtout en comprendre la portée.

[Carpate]

Pourquoi entre Un + 1 >1 et 1/Un <1, le +1 n'y est plus

oui, erreur de frappe
dans les lignes 3 à 5 remplacer par

[maxou211000]

Ok merci bcp

[catamat]

Bonjour
Démontrer par récurrence que pour tout entier n, on a

[maxou211000]

J

[Carpate]

Sens de variation de
C'est un peu long , il y a peut-être une méthode plus directe ?

Après réduction au même dénominateur (j'ai la flemme de taper les calculs intermédiaires) :
qui est du signe de
Ce trinôme s'annule pour
On retient que car
Donc que selon que est supérieur à sera décroissante ou croissante. (Voir signe du trinôme)
On conjecture que
Il faut le démontrer par récurrence :

Supposons que et montrons que soit
Je zappe certains calculs intermédiaires (même méthode que la question 1)






décroissante

[catamat]

La récurrence me semblait plus rapide...
(calculer bien sûr)

Hérédité
Supposons
On sait que f est strictement croissante sur R+ et que pour tout entier n,
donc
c'est à dire que

ce qui permet de conclure

[maxou211000]

Je

[Carpate]

soit f croissante sur un intervalle I :

[maxou211000]

m

[Maxymyze]

f(x) est la fonction homographique (3x+2)/(x+1)

[maxou211000]

Ah

[maxou211000]

E

[Maxymyze]

la limite L est un point fixe de la fonction => la suite converge vers L