Continuité valeur absolue

[Yoyo1293]

Bonjour, j'ai une fonction f définie sur R par f(x) = (|x|*|x-1|)/(x-1), si x≠1 et on sait que f(1) = 1
on me demande d'étudier la continuité de f en 0 pour ma part j'ai decomposé la fonction en 2 avec
f(x) = (|x|*|x-1|)/(x-1), si x>1 et f(x) = (|-x|*|-x-1|)/(x-1), si x<1.
Je me demande cela et bon puis j'ai calculé la limite à gauche et à droite de 0 avec l'éxpression x<1 je trouve 0 pour les deux cas mais si je tape la fonction sur un graph j'ai des valeurs différente en 0- moins et 0+ si quelqu'un pouvait m'éclairer ce serait gentil merci d'avoir lu.

[Maxymyze]

Simplifions.
Et si tu commençais par écrire f(x) = x*sgn(x-1) pour x différent de 1 ?
Donc f(x) = x pour x>1
f(x) = -x pour x<1

[Maxymyze]

La limite en 0 ??

[catamat]

Bonjour

Je suppose que c'est la continuité de f en 1 non pas en 0.

Si x>1, |x-1|=x-1, donc |x-1|/(x-1)=1
et si x<1, |x-1|=-x+1, donc |x-1|/(x-1)=-1

[Yoyo1293]

merci de vos réponses je ne comprends pas ce que signifie sgn ? mais sinon oui on me demande la continuité en 0 puis dans la question d'après on me demande justement al continuité en 1, dans les expressions que tu as écrite ya un |x| qui a disparu en facteur du numerateur c'est normal?

[Yoyo1293]

Je crois comprendre ducoup j'obtiens pour x>1 f(x)=x et pour x<1 f(x) = -x
mais pourquoi quand x > 1, |x-1|=x-1 mais pour -1, |-1|=1?

[Maxymyze]

Il y a donc continuité d'un côté (à droite) mais non de l'autre côté. Donc il n'y a pas de continuité.

[Yoyo1293]

oui mais la question elle est pour la continuité en 0 sauf que pour 0 je n'ai pas la limite à droite je vois pas comment faire

[Maxymyze]

f(x) = -x pour x<1
Donc f est continue en 0 car -x l'est
Et f(0) = -0 = 0

[Yoyo1293]

d'accord mais je pensais qu'il fallait que limite à gauche soit égal à limite à droite qui soit égal à l'image de 0 mais là on a qu'une limite ?

[Maxymyze]

en 0 les limites à gauche et à droite sont égales.
la limite est une notion locale, c'est-à-dire que seul compte ce qui se passe au voisinage du point, ce qui se passe "plus loin" ne compte pas.
f restreint à ] -infini, 1[ = -x
la limite en 0 de f est la même que la limite en 0 de x--> -x sur R tout entier.

[Maxymyze]

sgn(x) est la fonction "signe"
sgn(x) = -1 si x < 0
sgn(x) = 0 si x = 0
sgn(x) = 1 si x > 0

On a, pour tout x :
x = |x|.sgn(x)
|x| = x.sgn(x)

[Yoyo1293]

ok je comprend mieux maintenant merci beaucoup pour vos réponses, bonne soirée